专题三第3讲推理与证明.doc

第3讲　 推理与证明
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝
A．28　　　　B．76　　　　C．123　　　　D．199
解析　观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案　C
2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．
解析　根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．

此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.
答案　16
考题分析
具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．
网络构建

高频考点突破
考点一：合情推理
【例1】(1)(2012·武昌模拟)设fk(x)＝sin2kx＋cos2kx(x∈R)，利用三角变换，估计fk(x)在k＝1,2,3时的取值情况，对k∈N＋时推测fk(x)的取值范围是________(结果用k表示)．
(2)在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________．”
[审题导引]　(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律可得；
(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．
[规范解答]　(1)当k＝1，f1(x)＝sin2x＋cos2x＝1.
当k＝2时，f2(x)＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x.
∵0≤sin22x≤1，∴f2(x)∈.
当k＝3时，f3(x)＝sin6x＋cos6x
＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)
＝1－3sin2xcos2x＝1－sin22x.
∵0≤sin22x≤1，∴f3(x)∈，
故可推测≤fk(x)≤1.
(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.故填V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
[答案]　(1)≤fk(x)≤1　
(2)V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
【规律总结】
归纳推理与类比推理之区别
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
【变式训练】
1．若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有通项为bn＝(n∈N＋)的数列{bn}也为等差数列，类比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0，则有通项为dn＝________(n∈N＋)的数列{dn}也是等比数列．
解析　∵{cn}是等比数列，且cn＞0，
∴{lg cn}是等差数列，令dn＝，
则lg dn＝，
由题意知{lg dn}为等差数列，
∴dn＝为等比数列．
答案　

2．平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析　n＝2时，交点个数：f(2)＝1.
n＝3时，交点个数：f(3)＝3.
n＝4时，交点个数：f(4)＝6.
n＝5时，交点个数：f(5)＝10.
猜想归纳：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
考点二：演绎推理
【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.
[审题导引]　由a、b、c为正实数，显然易得a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法．
[规范解答]　(1)证必要性(直接证法)：因为a、b、c为正实数，所以a＋b＋c＞0，
ab＋bc＋ca＞0，abc＞0.
所以必要性成立．
(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc＞0，则它们只能是二负一正．
不妨设a＜0，b＜0，c＞0，
又由于ab＋bc＋ac＞0⇒a(b＋c)＋bc＞0，
因为bc＜0，所以a(b＋c)＞0.①
又a＜0，所以b＋c＜0.②
而a＋b＋c＞0，所以a＋(b＋c)＞0.
所以a＞0，与a＜0的假设矛盾．

故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．
【规律总结】
1．演绎推理问题的处理方法
从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果．
2．适用反证法证明的六种题型
反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．
【变式训练】
3．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析　因为凸函数满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，(大前提)
f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，(小前提)
所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，(结论)
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝.
因此sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
考点三：数学归纳法
【例3】设数列{an}的前n项和为Sn，且S－(an＋2)Sn＋1＝0,1－Sn＝anbn(n∈N＋)．
(1)求a1，a2的值和数列{an}的通项公式；
(2)若正项数列{cn}满足：cn≤(n∈N＋，0＜a＜1)，求证： ＜1.
[审题导引]　(1)由于S－(an＋2)Sn＋1＝0中含有S，通过升降角标的方法无法把Sn转化为an，这样就需要把an转化为Sn－Sn－1(n≥2)，通过探求Sn，然后根据求得的Sn求{an}的通项公式；
(2)根据(1)求得的结果，根据的结构确定放缩的方法求证．
[规范解答]　(1)S－(a1＋2)S1＋1＝0⇒a1＝，
S－(a2＋2)S2＋1＝0⇒a2＝.
S－(an＋2)Sn＋1＝0，①
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得SnSn－1－2Sn＋1＝0，②
又由S1＝，S2＝a1＋a2＝，S3＝＝.
猜想Sn＝.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，显然成立；
②假设当n＝k时，Sk＝，
则n＝k＋1时，Sk＋1Sk－2Sk＋1＋1＝0，
Sk＋1＝＝成立．
综合①②，可知猜想成立．
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，当n＝1时也满足，
故an＝(n∈N＋)．

(2)证明　由(1)，得bn＝n，
cn≤＝＜，
则 ＜ ＝1－＜1.
【规律总结】
使用数学归纳法需要注意的三个问题
在使用数学归纳法时还要明确：
(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；
(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；
(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k＋1时命题变化的情况．
【变式训练】
4．(2012·青岛二模)已知集合A＝{xx＝－2n－1，n∈N＋}，B＝{xx＝－6n＋3，n∈N＋}，设Sn是等差数列{an}的前n项和，若{an}的任一项an∈A∩B且首项a1是A∩B中的最大数，－750＜S10＜－300.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝令Tn＝24(b2＋b4＋b6＋…b2n)，试比较Tn与的大小．
解析　(1)根据题设可得：集合A中所有的元素可以组成以－3为首项，－2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列．
由此可得，对任意的n∈N＋，有A∩B＝B，
A∩B中的最大数为－3，即a1＝－3，
设等差数列{an}的公差为d，则an＝－3＋(n－1)d，
S10＝＝45d－30，
∵－750＜S10＜－300，
∴－750＜45d－30＜－300，
即－16＜d＜－6，
由于B中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列，
所以d＝－6m(m∈Z，m≠0)，
由－16＜－6m＜－6⇒m＝2，
所以d＝－12，
所以数列{an}的通项公式为an＝9－12n(n∈N＋)．
(2)bn＝＝n，
Tn＝24(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝24×
＝24，
Tn－＝24－－＝，
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，
由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，…
可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：
证法一　①当n＝3时，由上验算可知成立．
②假设n＝k时2k＞2k＋1，
则2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
根据①②可知，对一切n≥3的正整数，
都有2n＞2n＋1，
∴当n＝1,2时，Tn＜，当n≥3时，Tn＞.
证法二　当n≥3时，
2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C
≥C＋C＋C＋C＝2n＋2＞2n＋1，
∴当n＝1,2时，Tn＜，
当n≥3时，Tn＞.
名师押题高考
【押题1】　已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个整数对是
A．(7,5)　 　 B．(5,7)
C．(2,10)　 　 D．(10,1)
解析　依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到＜60＜，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…
因此第60个整数对是(5,7)．故选B.
答案　B
[押题依据]　能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳对推理的思想，需从所给的数对中总结归纳出其规律，进而推导出第60个整数对．题目不难，体现了高考的热点，故押此题．
押题2】已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，n∈N＋)，则am＋n＝.”现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N＋)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N＋)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.
解析　由题意类比可得bm＋n＝.
答案　
[押题依据]　归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以数列知识为背景，考查类比推理，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．