信号与系统知识总结3天之内学懂应对考试.doc

的部分比较简略）
2.1系统：
其实就是一个函数（…）。它与输入信号相卷积得到输出信号，做题时，知道系统就是，就可以了。重点把握：形如的信号经过系统后的表达式为，这也是FS的意义所在；另外要会列电路频域方程，解电路的部分放在讲题的地方统一讲
2.2特殊函数：
2.2.1，，只需记住这个，具体定义不管
   ，
   ，这两个式子很少考，作为了解
   用于移位：，因为式中只能为时被积函数才不为0
   用于积分：，式中时被积函数不为0
   离散情况类似，求导对应差分积分对应求和，不再重复
2.2.2 ，极其常见，用于各种地方，如基本公式，FS，移位等。
为周期函数，周期为
    怎样理解它的周期性？若周期为N，则，则必须是的整数（m)倍，所以，否则为非周期。离散的情况不是很重要，考的几率很小，但要理解
 欧拉公式：，我一般记这个表达式，因为用得较多，尤其用于信号的调制（时域做乘法，频域向两边移位移位），反变化较少使用
2.2.4 冲击串，很重要的函数，后面会细讲
2.3卷积的性质：
基本公式一般有两种应用：公式型的证明题；已知图形，求卷
除以上应用，也可能直接求，因为加法比较容易算
运算律同四则运算分配，交换，结合
卷积最重要的性质：时域卷——频域乘，时域乘——频域卷（注意系数），利用这个知识点与奇异函数的性质可以得到移位，微分，积分等性质。估计一半以上的题都多少会用到这个性质。
3. 各种变换，推导过程讲一部分，主要讲公式间的联系以及应用
 FT与FS联系，FT与LT联系，DTFT与ZT联系，LT的收敛域与ZT收敛域的联系，单边变换与双边变换的联系，入手点还是最基础的FT
 3.1 FT
    3.1.1基本变换式：
    这个是最基础的东西，应用非常广，这个记不住就别考了，在一些其他公式记不清的时候用这个去推，熟练后是非常快的
    3.1.2，
    推导：
    常用于已知频域函数反求时域：先拆成简单因子相加的形式，如，再严格套用上面的公式
    3.1.3，基础，注意的频域表达式
     ，看到就该想到这个，想要少记一个公式也可以通过去推导
    ，常用于移位，之所列出第二个公式，是由于在题中，时域往往要乘上，再用欧拉公式…………
    之前已提到：卷积等效于移位；通过这些联系，避免记错移位方向及正负号
    3.1.4应用欧拉公式，的性质即可得到，这里有两点需要注意：一是要注意系数，欧拉公式本身有系数，再加上存在系数，所以有，而这个变换往往应用于信号调制，即，时域乘法对应了频域卷积，所以有；第二要注意sin变换中的j的位置和正负号的问题，，我一般习惯把j放在分母，这样，正半轴为正冲击，负半轴为负冲击。可以按自己的习惯来，但这两点一定要注意，非常容易出错。
    3.1.5门函数，门函数
    首先要把系数记牢，其次要记得门限为，而没有
    由于图形简单，有图的题里经常出现，可以算是必考，考到注意多用用图形
    3.1.6冲击串-采样函数
    最重要的用途：通过卷积，将非周期与周期信号联系起来，通过乘法，将连续与离散信号联系起来，不过多一个的增益。常出现于公式推导型证明题，画图题
    做周期信号的FT，，一般能量无限信号的FT是没有意义的，但是周期信号还是可以通过上面这样去求FT
 3.2 FS

    FS与FT的联系：设，则有：

    由于FS限于周期信号，所以没什么需要记的变换对，考试基本也仅限于它的基本变换公式
 3.3 LT
    3.3.1正变换掌握，反变换只需了解
    3.3.2注意由时域求频域有唯一表达式，但需标明收敛域，而由频域求时域的时候，根据收敛域不同（右边、左边、右边+左边或有限信号，没有无限信号），会求出不同的时域表达式，如：
      收敛域为，则为，若为，则为，一般考题收敛域以大于为主（一般都是因果的），但小于的情况也必须知道。另外，这个a一般为实数，不需a>0，与FT区别
    3.3.3

    推导：第一个只需记住，同时注意与FT的频域相区别；第二个推导过程：由这个推导得到的启示在于，每当我们在做题时看到如下形式，要求LT变换时（一般比较小，其中为已知的，常用的变换对），应该想得到用求导的方法。另外，第二个公式很少会考到，推导也简单，可不记。
    3.3.4
    推导，很容易得到，熟悉推导过程，注意区别，避免记错分子。
    考试中可能遇到的变换对，一定可以根据基本公式和常用变换对再加上移位、求导、积分等性质得到，注意掌握他们的特点，下面只列出已知频域求时域的情况：因子求导；积分；移位；；
    3.3.5收敛域。不包含极点，一般先求出极点，然后根据时域信号判断，右边信号-->极点右边，左边信号-->极点左边，双边信号-->两极点之间（这里举个3个极点的例子），有限信号，能量有限-->全域；此外，注意两个性质，因果-->右边，稳定（有FT）-->包含jw轴
    3.3.6画图，举例，我一般习惯将式子化为这种形式（分母常数项为1），因为画图中要用到积分器。分为分子分母画图，然后结合
    3.3.7单边LT可不写收敛域，凡是求都可以通过变为求，例求的单边变换

    不严密推导：
                便于理解，强化记忆
    ，解电路
    推导：

    单边变换应用较少，只需记住基本概念和上面两式
 3.4 ZT
     反变换不管
    ，基本公式，收敛域不同，推导过程其实就是简单的序列求和，一般也是右边序列使用较多，其他可根据这个来推导
    收敛域，性质类似于LT，但对于有限信号，可能不包含0点和无穷点
    画图，同LT
    单边ZT
    下面给一个简单推导便于理解
    举例

    这个比单边LT还冷门，基本就不会考，掌握基本概念就够了
 3.5 DTFT（不重要）

    一般变换对参照Z变换，将Z换成得到，如：
    ，
    另外注意频域一定为周期信号，例如

4. 一些性质
 4.1 线性，略
 4.2 时移，频移
    联系函数，注意正负号，考试中会频繁使用
 4.3 对偶，卷积
    对偶步骤：变为，变为，变换后的频域乘上，有时题上要求的东西和我们所记的公式形式相反，这时用对偶的方法可以快速求出对应的公式。
    卷积定理不再重复
 4.4 奇偶虚实
    由于，且对于实信号推出其他公式：

    看到求实部虚部的题就用这个了
 4.5 尺度
    考得较少，记一下
 4.6 微分，积分
    微分通过基本公式可以推导求，例如
    ，应该熟悉这个过程，以免正负号记错
    积分通过奇异函数来求，例如
    注意与LS区别，同时，LS更常用一些
    做题过程中，对于积分微分不能直接求的信号，都是转换为另一域来求
 4.7 能量守恒，初值终值

     以上三式，注意区别，尤其是FS，凡是发现对信号的平方求积分，必定会用

     以上两式，只用于时，信号为0的情况，用得很少，稍微记一下
第二次课：
讲题，详讲一道，其余略讲
给出的解题思路也是，一道详细，其余简略
范围：2009—2010真题
另外，下面的解题思路都是我在看答案前自己的想法，有些地方和答案不同，大家可以进行对比。
题型1：推公式证明题，给少量已知条件，（1）证明一个等式；（2）计算一个表达式
（2009—4,2010—7）
常用：基本变换公式；；积分；求和；卷积
2009-4：已知
      （1）证：
      （2）求
思路：（1）等式左边是一个周期信号，等式右边是求和，并注意因子。由此可以想到FS的基本公式。因此只需证明；
    （2）证明题两问一般都会联系，考虑用（1）的公式来解。看到都有求和，我们考虑把代入（1）式，观察发现只能代入右边的部分（一个小技巧，求和因子为，而等式右边也为，多半是右边）。另，带入后得
，为得到我们要求的式子，需使，得到
，因此我们需要得到的表达式，考虑到，通过反变换得到（这个算是比较典型的变换对，可以记住，也可以拆分推导出）
最后得到

2010-7：已知
      （1）证时，
      （2若，算
思路：（1）首先，考虑到第一问里有很多卷积，条件中的积分含因子，因此也变为卷积。我发现直接求似乎并不复杂，于是有了以下的尝试：

对比以上两式，发现只需证，通过频域即可得证（）
    （2）通过频域，画图。
题型2：关于系统的题，往往已知关于系统的一些条件以及输入，求或某些特殊式子，如能量（2009-5，2009-9）
常用：基本变换对中的，三角函数和门函数；时频对应关系——卷积和乘法，往往换一条道路解题会简单很多；题稍难的时候再反变换时可能用到积分微分相关性质
2009-5：已知，（图画黑板上）
      （1）求，画
      （2）若，求
思路：（1）无需思路，直接求
    （2）看到平方的积分，且明显频域信号更简单，用能量公式。根据所记变换对，的门限为，幅度为1，，代入能量公式：
，这种属于送分题，仔细点就可以了，比如的变换，能量公式的系数，往往做题做高兴了就容易出错。
2009-9：已知，，因果稳定
      （1）求
      （2），比较与大小，说明原因
思路：（1）可以通过频域求，但是考虑到输入为的形式，求输出的时域，输出为，所以有

同理，。
     （2）要比较的是时域幅度增益与延时，将变为的形式，得到，同时已知，带入得。时延为，单调减函数，所以
题型3：画图求解的题，一般也必定会涉及系统，利用图形求或某些特殊式子，一般这种题用画图解会很简单（2009-7，2010-4）
常用：时频——卷积和乘法的转换，图形求卷积，图形的移位、尺度变换等，门函数，三角函数，即图形的周期化（总的来说，和题型2用到的差不多，因为都是关于系统的题）
2009-7：，且如图
      （1）画出的频谱
      （2）求的表达式
      （3）画出的图
思路：（1）周期化，三个要点：正负号，幅度，周期
    （2）截取一段，反变换，
    （3）时域为方波，频域很复杂，因此还是用时域，，，画图
2010-4：已知
      画出，求
思路：此题画图时有一点比较特殊，就是在周期化的时候，周期小于信号宽度，因此会产生重叠。然后通过截取一个周期，反变换得到
题型4：电路。实际就是求，再进行一些后续运算，不过通过电路求稍微特殊一点，所以单独列出（2009-8（2010-6和此题几乎一模一样，除了求的方式变为微分方程。由此也可以看出，电路仅仅是用来求，不再涉及更难的运算，而后续的几问只是单纯的计算问题））
常用：电路频域图；基本的解电路方法，串联分压，并联分流
2009-8：如图，已知，电流输入，电压输出
     （1）求。讨论如何选择取值，使极点为复数
     （2），求最大值，指出
     （3）令，且，R、L、C不变，求-3dB带宽
思路：（1）主要是画频域图与解电路，。对于本题，则有，极点为复数，则，
     （2），，求导求最值，得，
     （3）要求，令，解得，根据已知条件，取左右两点，所以，
    关键是解好第一步，其余是数学问题。
题型5：通过微分、差分方程求系统函数，画方框图，零、极点图，判断收敛域，是否因果，是否稳定；一般这些还不够一道题的分量，所以还要加一点其他运算（2010-9，2010-6，2009-10）
常用：标准方框图的画法，零极点图画法；各种判决准则；常用变换对
2010-9：已知线性因果系统
     （1）画图零极点图，指出系统是否稳定
     （2）求系统单位阶跃响应
     （3）输入，计算
思路：（1）求得，画图
    （2）显然，用时域求和方法很复杂，因此用频域，，做乘法后拆分为
    （3）用能量公式，分别考虑，比较复杂，为1，所以变为，由于复杂而非常简单，因此再用能量公式，得。
     这一问很好地考察了频域和时域的灵活转换，所以做题时，遇到某一域比较复杂时，与其耐心地解出来，不如花一点时间考虑另一域是否简单。
2010-6：已知因果系统
      （1）求，画方框图；
       后面两问省略，和前面一样
2009-10：这个不讲了，大同小异
题型6：纯计算题，主要都是单纯地根据已知条件去求某些表达式的值，有些很简单，有些需要灵活运用所学知识（2010-5,2009-6,2010-8）
常用：各种性质
2010-5：已知，如图
      （1）求
      （2）另，计算
思路：（1）这一问显然不需要用图形去求解，由于已知条件只有，先把他转换为表达式，如果没有，则时域非常容易得到，用一个门函数，则，。这题也可以直接用基本公式去求，稍微复杂一点。
    （2）看到要求的表达式，想到用频域去求。尺度变换得到，频域做卷积，通过图形得到时为1。笔记上用的是奇偶虚实的性质，难易度差不多，感觉要难想到一点。
2009-6：已知离散时间LTI系统（1）若在区间外，则在区间一定有；（2）若，则；（3）单位阶跃响应有：
      （1）计算，并画图；
      （2）画系统方框图；
      （3）若，求
思路：（1）根据条件1，通过画图，得到从0到2。根据条件2，得到。根据条件3，得到，所以。
（2），图略。
（3）
第一问是这道题特别的地方，后面都已讲过了。
2010-8:已知
    （1）求并画图；
    （2）若，画出的图。
思路：（1）看到因子，能想到的变换对只有一个，，因此进行变换，通过移位、积分的性质可以得到，到这一步，就可以很容易地得到图形，同时还可以进一步化简为。我在做这一题时没有想到也有与其对应的变换，而是严格的套用公式，还是能够得到正确结果。
    （2）图形都很简单，因此直接用图形求积分，题上不要求的表达式，因此没必要写出。
2010-10：已知
    （1）求与的关系；
    （2）证明最大值为；
    （3）若，求表达式以及。
思路：（1）形式像卷积，但差个负号，因此做变换，相当于，因此。
    （2）完全是个数学问题。几乎没有任何已知条件，我们需要构造一个显然成立的不等式，往往考虑“平方>0”的形式，结合本题，考虑，展开后得到，得证。
    （3）时域卷积明显不好算，用频域，用到第一问的结论，则
，因此。由于Z变换反变换不要求，不可能通过频域来求，因此直接用时域求，因此有
第三次课：
题型1：证明题。
2008-4：设，且，，。
      （1）试证明：；
      （2）设，，计算的值。
思路：（1）令他们的FT为，则有，同时，看到没有平方的一个简单积分如的形式，应该立即想到想到，因此我们得到，所以，所以。
    注：笔记上用基本公式求，显然比较复杂。
    （2）用到上一问的结论，由于，

      所以
    注：证明题中，后面的小问最容易用到前面的结论，使得解答过程变得很简单。否则，以此题为例，若想先求出，再利用来解，求的步骤会比较复杂。
题型2：关于系统。
2007-5：已知系统如图。
     （1）当时，求；
     （2）当，求并画粗略图形。
思路：（1）此题唯一需要注意的就是系统的相位问题，在明白这一点的前提下，先求出
，相当于时域右移，因此得到
    （2），由于得部分在门限以外，所以可以忽略。因此，化简
2008-9：系统如图。
    （1）求单位阶跃响应，并画图。
    （2）若输入，画出的波形。
    （3）若，求输入因果信号。
思路：（1）直接把代入系统，则，为一方波，积分后明显要分段，，图略。
    （2）由线性，，不用求表达式，直接画图。
    （3）需要求到系统单位冲击响应，输入，得到，所以，同时求出，所以得到
，其中用到了条件“输入因果信号”。
   注1：开始做第（3）问时也考虑过直接用时域，但是发现得到以后，由于其波形并不特殊，，并不好求，观察法既不容易看出结果，也不够严谨，所以才考虑用频域。
   注2：第（3）问结果与笔记不同笔记上的解答似乎看错一个正负号，其结果对应于，同学们可以下来仔细看看。
题型3：画图题。
2008-7：已知条件如图
     （1）画出的频谱。并求表达式。
     （2）画出的频谱。
     （3）设计理想低通滤波器，使。给出的图形和截止频率的可选范围。
思路：按照系统由输入到输出的顺序，依次画图，由于题中用到，注意符号的问题。
题型4：电路。
2006-6：LTI电路如图
     （1）求，如何选择R、L、C的关系才能使阶跃响应不产生振荡信号？
     （2）若R=2，L=1，C=1，求单位冲击响应。
     （3）求阶跃响应的初值和终值。
思路：（1）画出频域图，根据串联分压，。要使阶跃响应不产生振荡信号，则极点为实数（我也没管为什么，当时就这样记了）。容易得到。
    （2），实际的系统肯定是因果系统，这相当于一个隐藏的条件。，。
    （3）根据初值终值定理，需要得到，，
题型5：微分、差分方程，零极点，收敛域，方框图相关问题。
2008-8：已知双边信号，为有理分式并仅有两个极点和一个零点分布如图，且。
    （1）求的表达式。
    （2）若另一因果信号，，画出的零、极点图，求。
思路：（1）由条件，根据图与，得到
根据收敛域，得。
注1：答案与笔记不同。
     （2）根据性质，因果信号—>右边信号，有频谱说明包含轴。考虑前面用到过的式子，，可以看出在零、极点以及幅度绝对值相等时，频谱幅度相等。所以，再求反变换。
注2：笔记上采用全通函数，
注3：笔记上的答案只有，并且注明只有这种情况才给分。但是若给出全通函数，就可以得到另外一种结果。
2008-10：已知因果离散序列
     （1）求的Z变换，画出收敛域，零极点图。
     （2）将输入差分方程如下的因果系统：，计算系统零状态响应在处的数值。
思路：（1）我们记的常用变换对只有，其他的都是直接用基本公式求。看到题中的表达式，需要先化简：。由此，我们得到。。
 零点：无穷大，则，注意是8阶的；
 极点：，，所以图略。
注1：我们往往习惯于的形式，即连续的形式，遇到离散往往做起来会觉得比较别扭，应该要通过练习来习惯。
注2：，，一般从左向右大家会觉得很简单，并且根本不需要记。而由于LT和ZT反变换基本式是不要求的，所以在做反向运算的时候，没有记住这个公式会比较恼火，这里建议还是背下来。
    （2），，零状态响应，所以。
题型6：计算。
2008-5：已知实偶信号。
     （1）计算的能量。
     （2）令，求表达式，画出频谱相位图。
     （3）令，计算。
思路：（1）算能量用能量公式：
    （2）由，得到，。
，因此相位只有两个值，当时，相位为，当时，相位为，图略。
    （3由
。若不用此方法，直接进行计算，则有，不好算。
2007-8：某连续时间稳定实系统单位冲击响应满足如下条件：
     （a）为偶函数；
     （b）有四个极点，没有零点；
     （c）的一个极点在
     （d）。
试求，并说明该系统是哪一类滤波器。
思路：由于我们所熟悉的奇偶虚实性质都是对于FT而非LT，所以可以自己推导LT的性质。
     首先，为实，则有。
     根据条件（a），
     根据条件（b），有。
     根据条件（c），有。
     根据以上条件，已经可以确定四个极点的值，由于
，也是系统的极点。再由，得到，也是极点。
     最后，根据条件（d），，。
为了得到滤波器类型，求出，低通。
 注1：结果与笔记不同。
总结：
1. 求能量：，几乎是必用能量公式，甚至用两次。用了之后会发现积分非常容易得到。如2010-9,2009-5
2. 求积分：，复杂一点可能是。也不会让大家直接求，一般是通过这种变换来求（当然也可能有其他方法，但是推荐此方法），如2010-5。反之，求也应懂得变换，而不是直接算。
3. 求幅度，相位，。一般形式都比较特殊，如实数、纯虚、。若很复杂，往往只要求而不要求相位，直接用定义求即可。如2010-6,2009-5,2009-8
4. 已知微分、差分方程、电路图，求，并画方框图、零极点图、收敛域。此类题非常死板，记住方法即可。如2010-9
5. 已知，求一个中间信号，并且往往是求频谱并画图。这种问题中只可能是，偶尔也可能是。这些都是对频域的移位，应重点把握，注意移位后幅度，对于时尤其注意。比较难的情况在于移位的幅度小于的宽度，这种时候要画清楚坐标，以免出错。如2010-4,2009-7
6. 根据已知条件求离散信号（或信道冲击响应）。由于离散图形比较直观，最好结合图形来分析。如2009-6
7. 证明题第一问，几乎都和卷积有关，所以往往需要灵活变换时域与频域；证明题的第二问，几乎必用第一问结论，而且不用就会很难做。
8. 方波（低通滤波器）。无论时域还是频域，方波出现在哪边就通过哪边进行计算。
9. 反变换时，LT常出现，因此以LT为例：求导；积分；移位；；；。不仅如此，我们还需要知道如。总之，通过拆分、积分、求导、移位和已知变换对灵活解题。
10. 所有知识都应该牢记并能推导，仔细做题。