确定二次函数的表达式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3,确定二次函数的表达式,北师版 九年级下册,如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度,y(m),与水平距离,x(m),的图象，你能求出其表达式吗？,情境导入,1,4,2,3,2,9,0,x,y,设二次函数解析式为y=ax+bx+c,-4=4a+2b+2,例 已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。,c=2,由题意知 16a+4b+c=-3,设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k,解：设二次函数表达式为y=ax+bx+c,解得：a=-1,解：抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，,a-b+c=0 ,二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0),图象过A(2,-4),C(-1,2)两点,函数图象过点(1,4),解法2：（利用顶点式）,b=42,=4,二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0),y=-x2-x+2,思考探究,确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流,.,例,1,若二次函数图象过,A(2,-4),B(0,2),C(-1,2),三点，求此函数的解析式。,例,1,若二次函数图象过,A(2,-4),B(0,2),C(-1,2),三点求此函数的解析式。,解,：,设二次函数表达式为,y=ax+bx+c,图象过,B(0,2),c=2,y=ax,2,+bx+2,图象过,A(2,-4),C(-1,2),两点,-4=4a+2b+2,2=a-b+2,解得,a=-1,b=-1,函数的解析式为：,y=-x,2,-x+2,解法2：,（利用顶点式）,图象过B(0,2),C(-1,2)两点，,可知其对称轴为,x=,可设解析式为,y=a(x+),2,+k,A(2,-4),B(0,2)在图象上，,-4=a(2+),2,+k,2=a(0+),2,+k,a=-1,k=,y=-(x+),2,+,即,y=-x,2,-x+2,例,2,已知一个二次函数的图象经过点,(4,3),，并且当,x=3,时有最大值,4,，试确定这个二次函数的解析式。,解法,1,：,（利用一般式）,设二次函数解析式为：,y=ax,2,+bx+c(a0),由题意知,16a+4b+c=-3,=3,=4,解方程组得：,a=-7,b=42,c=-59,二次函数的解析式为：,y=-7x,2,+42x-59,解法,2,：,（利用顶点式）,当,x=3,时，有最大值,4,顶点坐标为,(3,4),设二次函数解析式为：,y=a(x-,3,),2,+,4,函数图象过点（,4,，,-3,）,a(4-3),2,+4=-3,a=-7,二次函数的解析式为：,y=-7(x-3),2,+4,例,3,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象过点,A(0,5),B(5,0),两点，它的对称轴为直线,x=3,，求这个二次函数的解析式。,解,:,二次函数的对称轴为直线,x=3,设二次函数表达式为,y=a(x-,3,),2,+k,图象过点,A(0,5),B(5,0),两点,5=a(0-,3,),2,+k,0=a(5-,3,),2,+k,解得：,a=1,，,k=-4,二次函数的,表达式,:y=(x-3),2,-4,即,y =x,2,-6x+5,小结,:,已知顶点坐标,（,h,k,）,或对称轴方程,x=h,时,优先选用,顶点式,。,解：（,交点式,）,二次函数图象经过点,(3,0),(-1,0),设二次函数表达式为：,y=a(x-3)(x+1),函数图象过点,(1,4),4=a(1-3)(1+1),得,a=-1,函数的表达式为：,y=-(x-3)(x+1),=-x,2,+2x+3,例,已知二次函数图象经过点,(1,4),(-1,0),和,(3,0),三点，求二次函数的表达式。,知道抛物线与,x,轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便。,其他解法：,（,一般式,）,设二次函数解析式为,y=ax+bx+c,二次函数图象过点,(1,4),(-1,0),和,(3,0),a+b+c=4 ,a-b+c=0 ,9a+3b+c=0 ,解得：,a=-1,b=2,c=3,函数的解析式为：,y=-x,2,+2x+3,（顶点式）,解：抛物线与,x,轴相交两点,(-1,0),和,(3,0),，,(-1+3)/2=1,点,(1,4),为抛物线的顶点,可设二次函数解析式为：,y=a(x-,1,),2,+,4,抛物线过点,(-1,0),0=a(-1-1),2,+4,得,a=-1,函数的解析式为：,y=-(x-1),2,+4,=-x,2,+2x+3,归纳：,在确定二次函数表达式时,（,1,）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式 ；,（,2,）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式 较为简便；,（,3,）若已知二次函数与,x,轴的两个交点，常设交点式较为简单。,1.,请选择最优解法，求下列二次函数表达式。,(1),已知抛物线的顶点在原点，对称轴是,y,轴，且经过点（,-2,，,2,），求此抛物线的表达式？,(2),已知抛物线的顶点在,y,轴上,且经过（,-1,，,-3,）和（,2,，,6),求此抛物线的表达式？,运用新知,顶点式,顶点式,y=3x,2,-6,(3),已知抛物线的顶点在,x,轴上，对称轴是直线,x=1,，且经过（,2,，,3,），求此抛物线的表达式？,(4),已知一个二次函数的图象经过原点，且过（,2,，,6,），（,-1,，,3,）求这个二次函数的表达式？,一般式，交点式,顶点式,y=3(x-1),2,y=2x,2,-x,由题意知 16a+4b+c=-3,解法2：（利用顶点式）,设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4,函数的解析式为：,二次函数的表达式:y=(x-3)2-4,y=-7(x-3)2+4,(3)已知抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x=1，且经过（2，3），求此抛物线的表达式？,在确定二次函数表达式时,(2)已知抛物线的顶点在y轴上,且经过（-1，-3）和（2，6),求此抛物线的表达式？,a-b+c=0 ,c=-59,a(4-3)2+4=-3,例1 若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点求此函数的解析式。,解法2：（利用顶点式）,（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单。,2.,如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲 线,AOB,）的薄壳屋顶它的拱宽,AB,为,6m,，拱高,CO,为,试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式,?,解,:,以线段,AB,的中垂线为,y,轴,以过点,o,且与,y,轴垂直的直线为,x,轴,建立直角坐标系,设它的函数表达式为,:y=ax,(a0),通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么,?,（待定系数法）,1.,若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系,;,2.,设抛物线的表达式,;,3.,写出相关点的坐标,;,4.,列方程,(,或方程组,);,5.,解方程或方程组,求待定系数,;,6.,写出函数的表达式,;,课堂小结,什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？,课后作业,完成本课时的习题。,如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。,高尔基,