圆板的切割问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆板的切割问题,背景内容,你正受聘向一家制造公司的生产经理提供合理方案。生产工序的一部分是从,1,米,1,米的钢板上切割圆板。用圆板冲床从每块钢板上压切,16,块直径为,0.25,米的小圆板，问你是否能重新安排切割方案以减少损耗呢？从相同的钢板上切割出直径为,0.1,米的圆板时，减少浪费的最佳方案又是什么呢？能否构成一个数学公式用于计算从给定尺寸的钢板上切半径为,r,的圆板的最大数量呢？,1,提出问题,已知圆板、钢板的尺寸，求最有效的切割方案和一块钢板能切出的圆板的最大数量。,建立模型,列出有关因素如表,61,。,对象,类型,符号,单位,钢板长度,输入参数,L,米,钢板宽度,输入参数,b,米,圆板半径,输入参数,r,米,圆板数量,输出变量,N,整数,损 耗,输出变量,W,%,2,假设,:,1,假设冲床能高精度地光滑切割，可让圆与圆彼此相切。,2,每个圆之间接触的形式（除掉邻近钢板边缘的圆）为：,（,1,）与四个圆相切（“四点相切”或“方形排列”）；,（,2,）与六个圆相切（“六点相切”或“三角形排列”）。,3,求数学解,最简单的形式如图,6.1,所示,呈现四点接触的方形排列，如前所述，有,和N=16；,损耗为,4,对于这种切割方式，考虑参数值的变化。,5,所以圆盘总数为,损耗,现对,L,，,b和,r,的一般取值，讨论可能出现六点相切的情形。,6,按横行的形式考虑由图,6.3,易见，,当,b,是,r,的奇数倍（即 ），那么直到,b,增加到 足以再容纳一个圆盘前，每行包括 个圆板。,当,b,增大 时，各行交替为 和 个，直到 增大到 使每行都包含 个圆盘为止。,7,看图,6.3,所示的垂直边可见，,在每行有,n,个圆板的情况下,，,8,因此,在各行交替有,n+1,个,n,和个圆板的情况下，,当,x,为偶数时，长行（每行有,n+1,个圆板）个数是,当,x,为奇数时是,于是,x,为偶数，总数为,x,为奇数，则,9,结论总结如下：,各种情况下，,10,模型说明,不能说哪种方法更佳，对参数值的变化，两种方法都可能更有效。应注意对参数的两个整数值，,N,值可能不变但损耗会改变。,对 ，,r=0.05,的情况，引用上面六点相切式的方法得,所以用各行所含圆盘数不等情况（）下的公式得,四点相切式显然为,100,个，所以要次一些。,11,思考：,1,数量,105,还能增加吗？若用相等行和不等行的混合方案，可求出各行圆板个数为,10,，,9,，,10,，,9,，,10,，,9,，,10,，,9,，,10,，,10,，,10,，总数为,106,个呢！这种混合策略值得考虑。,2,四点相切式不必为方形排列，采用一种错开的形式如图,6.4,所示，研究一下这种形式的效率。,3,把模型扩展为在同一块钢板上切两种不同尺寸的圆板的情况，在什么条件下小圆板能嵌在大圆板缝隙之间呢？,12,销售新种子,1,问题,开拓种子股份有限公司已经培育出一个新品种的作物，并且计划于,1985,年首次出售其种子。虽然在初期种子量不足，但公司希望最终成为货源充足的大销售商。于是，公司每年生产出的种子中有一部分要留作再生产用。在公司发展的最初阶段必须考虑：保留较大份额的种子用作再生产，仅出售小部分还是只保留小部分而影响下一步的再生产。,要研究的问题是：以获得最大利润为目标，建立种子的保留量与出售量之间不同分配比例的经济关系。,13,2,教学注解,在问题中提出对销售来说要以最大利润为目标，也可以有其它的提法。例如，公司可设定关于种子的需求目标，要求在尽可能短的时间内达到这一目标。,此问题要求学生具备相当于大学入学资格的高水准的数学知识，并不需要生物学或经济学方面的专门知识。,3,用公式来表示这一模型,解决这类问题的一个有效的技巧是首先列出与建立公式有关的一些特征。下面列出,13,项是可能提出的众多特征中的一部分，但对于解决所提的问题差不多已够了。,14,1,特征表,（,a,）,从播种到作物结籽，生产出种子的时间,;,(b),每株作物的种子产量,;,（,c,）,作物是否是杂交品种,;,（,d,）,在不好的生长季节，有效产量是多少,;,（,e,）,种子的成本,;,（,f,）,土地的价格，例如税与租金,;,（,g,市场对种子的需求,;,（,h,）,种子出售部分与留作播种部分之比,;,（,i,）,土地的使用量,;,（,j,）,管理费用，例如肥料、暖气等,;,15,（,k,）,销售价格,;,（,l,）,物价上涨的因素,;,（,m,）,这类作物在市场上能畅销多久？,.,为减少建立模型的复杂性，我们要对上述这些特征作一些假定。,2,假定,下面每条假定后面的括号内的英文字母表示这条假定是对这些字母表示的特征而言的。,（,1,）作物是一年生的植物，春天播种，秋天收割，不是杂交品种，每株作物（从一粒种子得到）可生产出,r,粒种子。（）；,（,2,）生长季节连续多年都不坏，因而,r,可看作常量（）；,16,（,3,为进行生产仅培育和试验了少量种子，因而培育成本（即种子的最初成本）可以忽略不计（）；,（,4,）土地的使用量不受限制，单位重量种子的生产成本与售价都是常数（这一假定似乎与物价涨落的事实有矛盾，但我们假定在我们考察的期间内利润是常量，因而成本的提高可以用提高售价来抵消）；每单位重量种子的生产成本及售价分别为,c,、,s (),；,（,5,）在,m,年内对种子有一个恒定的需求量，它大于种子的生产量，,m,年后，由于改良种子的出现，需求量将减少（）；,（,6,）在一个生长季节内生产出来的种子全部用光（用于出售及下一年的再生产），种子在第,n+1,年的播种量是第,n,年收获量的,a,倍,(,h,),17,对上面的假定我们不作解释。把这些假设用于构造模型，那末它们必影响由该模型得出的解。,3,一个简单模型,目标是研究不同的销售策略（即分配比例），以获取最大利润。我们仅考虑前,m,年内的利润，因为此后的需求量开始下降。,考虑每年的播种量在前一年的收获量中占的份额是固定的这种策略，,于是,a,取为常量。,假设第,n,年的种子播种 ，,所以第一年的播种量是,P,1,（,P,表示重量单位），,第,n,年末的收获量是,(,假定,1,，,2),。,因为种子播种是上一年收获量的,a,倍，,18,于是第,n+1,年种子的播种量,而出售量则是 ，,第,n,年的利润,到第,m,年年底总利润,19,故而,到m,年年底的总利润,T,由下式给出,于是问题就是选取,a,，,以使,T,为最大。,4,上述模型的两个结论,A,：,当种子的供应量远低于需求量时，就要增加留作再生产用的种子量，以使得以后几年中有更多的种子可供出售。,20,按此,它给出,（当,r1,与,a1,，,收获量就大于播种量）。,种子的播种量恰到好处，,即公司每年的售量都相同，满足需求，这是平衡状态。,当最初的种子量不能满足需求时，有几年就要提高留作再生产用的份额，这就要,21,然而，当在某年需求被满足了，那末以后几年中我们要取 使得不会产生有卖不出去的种子。当今我们假定这段时期内供应量均不能满足需要，所以 。,B,：,每年的利润应该是正的，于是第,n,年的利润,Y,n,它给出,不等式（,6.2-1,）与（,6.2-2,）给出了,a,的界，即,22,4,a,的一些解,我们选取,r,s,与,c,的某适当值，再对不同的,m,值（从第一年到需求量开始下降的这一年之间的年数）来求使,T,为最大值的,a,值，并记这个值为,此模型适用于多种作物，但对于不同的作物，,r,s,与,c,的值是不同的。,例如对马铃薯,r,大致是,10,，冬小麦,r,大约是,20,，而卷心菜,r,可以是几百。,下面我们对,r,与 的不同数值对来找 ，当然求 的方法很多，不限于此法。,对某个品种的马铃薯，我们假定,r,=8 ,(,为什么假定,),，记 ，有,23,24,表,6.2,表示了对不同的,m,值所求得的的 值。,表,6.2,2,3,4,5,6,7,0.25,0.39,0.45,0.50,0.52,0.53,我们用,m=6,来作解释。,m=6,，,即在,6,年期限内使利润最大的经营策略是：,公司应该把每年收获量的,52%,用作下一年的播种用，这样总利润是,1377 (,镑,),。,25,再考虑这,6,年的土地使用量。,对,a=0.52,，,每年种子的播种量由表,6.3,查出，表中的数值是由 算得。,年,1,2,3,4,5,6,种子的播种量,当第,1,年马铃薯的种子量是,1,吨，那末第,6,年就要播种,1246,吨马铃薯种子。每英亩土地大致可种,1,吨，于是公司需要,1200,英亩以上的土地。,26,在英国，农场的平均规模大致是,260,英亩。所以公司需要用相当,5,个农场的土地来种马铃薯。在这个解中，土地的使用面积几乎每年都是前一年的四倍，这分明是一个不足之处。,我们可以用下面方法来修正上面的经营策略；,对用于播种的土地面积限制为,A,英亩，这样所需的种子量就是,A,（,吨），即,公司每年只要留下,A,吨的种子作播种用。这是一个稳定状态，在这个稳定状态中的 值就从最优值减小成 。,例如，取,A=300P,1,，由表,2,知在第,5,年取这个值，那末在第,5,年可生产出马铃薯种子,2400,P,1,。,27,保留其中的,300P1,吨作第,6,年的播种用，出售量从原来的,1154,P,1,变为,2100,P,1,。而第,6,年的收获量仍是,2400,P,1,，它远小于原计划的,81246,P,1,=9968,P,1,（,吨）。当然这修正策略是无法达到最大利润这一目标的。,5,两个可选择的策略,1),设可供使用的土地能播种,A,吨种子，当收获量不大于,A,吨时就不出售，当收获量大于,A,吨时，每年保留,A,吨，出售余下的部分。,2),不把,a,当作常量，把它看成是,n,的函数。（你可把,a,看作是增函数，也可把它看成是减函数）,28,