高考数学总复习 第五单元 第四节 简单的三角恒等计算课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节,简单的三角恒等计算,由三角变换求值或求角,已知,cos,，,cos(,),，且,0,.,(1),求,tan2,的值；,(2),求,的值,分析,(1),先求,sin,，再求,tan,，最后由二倍角公式求,tan2,.(2),先求角,的余弦值，再求角,解,(1),(2),由,0,，得,0,.,又,cos(,),，,由,(,),得，,cos,cos,(,),cos,cos(,),sin,sin(,),.,规律总结,三角恒等变换是实现角与角，三角函数与三角函数，三角函数式之间转化的主要运算求值或求角正需要这种有效变化，因此，求值或求角的解题途径主要是，角的变化、函数名称的变化和三角函数式的变化,变式训练,1,求,的值,【,解析,】,由三角变换化简三角函数式,已知,tan,，,tan,是方程,x,2,4,x,2,0,的两个实根，化简：,cos,2,(,),2sin(,)cos(,),3sin,2,(,),分析,先由已知条件找到角,，,满足的关系式，再根据该关系式与要化简式子的联系，实施恒等变换,解,由已知，有,tan,tan,4,，,tan,tan,2,，,规律总结,该题目是一个有条件的化简问题化简该三角函数式时，需要借助已知条件，因此，首先要根据已知条件，找到两个角的关系，发现两角和的正切可求由此想到，将已知式子向正切方向转化，最后使式子得以化简，而且求得值,变式训练,2,化简,【,解析,】,由三角变换证明三角恒等式,(1),求证：,(2),已知,5sin,3sin(,2,),，求证：,tan(,),4tan,0,分析,(1),两边分别切化弦，通过三角变换进行化简,(2),从角入手，进行角的保值变换，出现欲证等式中的角，再由三角变换进行化简,证明,(1),左边右边，原等式成立,(2),把,5sin,3sin(,2,),化成,5sin(,),3sin(,),，得,5sin(,)cos,5cos(,)sin,3sin(,)cos,3cos(,)sin,，,移项合并得,2sin(,)cos,8cos(,)sin,0,，,tan(,),4tan,0.,规律总结,(1),证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一，或变更论证；,(2),常用方法有：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“,1”,的代换法、公式变形法等；,(3),条件恒等式的证明，需要充分依据已知条件，观察条件与结论中角、名称、次数的差异，从而选择不同的公式，进行三角变换,变式训练,3,求证：,【,证明,】,三角恒等变换的综合应用,(12,分,),已知正实数,a,，,b,满足,求,b/a,的值,分析,思路一，从方程的观点考虑，将等式左边的分子、分母同时除以,a,，则已知等式可化为关于 的方程，从而可求出,.,思路二，若注意到等式左边的分子、分母都具有,a,sin,b,cos,的结构，可考虑引入辅助角求解思路三，考虑两角和的正切的形式，引入辅助角,解,方法一：由题设得,4,分,8,分,12,分,方法二：,3,分,6,分,由题设得,8,分,12,分,方法三,：原式可变形为：,4,分,8,分,10,分,12,分,规律总结,上述解法中，方法一，利用了方程的思想，从方程中求得的 表达式，再由三角变换化至最简；方法二，分子分母分别应用了式子,a,sin,b,cos,sin(,),和,a,cos,b,sin,cos(,),的形式；方法三，通过式子的恒等变形，类比两角和的正切公式，进行角的代换，从而求得角，再求 的值由本例可以看出，三角恒等交换方法多样，要注意总结各方法的优点，熟练运用,变式训练,4,已知,x,R,，,f,(,x,),sin,2,x,cos2,x,.,(1),若,0,x,，求,f,(,x,),的单调递减区间；,(2),若,f,(,x,),，求,x,的值,【,解析,】,f,(,x,),sin,2,x,cos2,x,sin2,x,cos2,x,sin2,x,cos2,x,sin .,(1)0,x,，当 ,2,x,，即 ,x,时，,f,(,x,),为减函数，故,f,(,x,),的单调递减区间为,(2)sin =,，,2,x,2,k,或,2,x,2,k,，,x,k,(,k,Z,),或,x,k,(,k,Z,),1,三角恒等变换的几种主要途径,(1),角的变换：观察角之间的和、差、倍的关系，减少角的种类，化异角为同角,(2),函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名的差异，化异名为同名,(3),常数的变换：常用的方式有,1,sin2,cos2,tan,，,sin,等,(4),次数的变化：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角的余弦公式及其变形,(5),结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等,2,三角函数式的化简方法,(1),直接应用公式进行降次、消项；,(2),切化弦，异名化同名，异角化同角；,(3)三角公式的逆用等,3,三角函数的求值类型,(1),给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题,(2),给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如,(,),，,2,(,),(,),等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论,(3),给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角,4,三角等式的证明,(1),三角恒等式的证题思路,根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”,(2),三角条件等式的证题思路,通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明,5,形如,y,a,sin,x,b,cos,x,的函数，先转化为,y,sin(,)(,其中,),的形式，再研究性质,已知,，,，且,tan,，,tan,是方程,x,2,3,x,4,0,的两个根，则,的值为,(,),A.,或,B,C,或,D,错解,tan,，,tan,是方程,x,2,3,x,4,0,的两个根，,tan(,),，,，,(,，,),，,在,(,，,),内正切值等于 的角只有 和 ，,或,.,错解分析,没有对条件,进行深入地分析，扩大了,的取值范围,事实上，由,tan,tan,3,0,，,tan,tan,4,0,，可知,tan,0,，,tan,0,，,(,，,0),正解,tan,，,tan,是方程,x,2,3,x,4,0,的两个根，,tan,0,，,tan,0.,，,，,，,，,(,，,0),又,tan(,),在,(,，,0),内，正切值等于 的角只有 ，,.,