第五章：积分方程.ppt

数学物理方法概论数学物理方法概论之之（积分方程法）（积分方程法）联系电话：联系电话：[phone]mailto:nhttp:/ 积分方程积分方程 积积分分方方程程是是研研究究数数学学其其它它学学科科和和各各种种物物理理问问题题的的一一个个重重要要数数学学工工具具。它它在在弹弹性性介介质质理理论论和和流流体体力力学学中中应应用用很很广广，也也常常见见于于电电磁磁场场理理论论物物理理中中。本本节节将将介介绍绍求求解解积积分分方方程程的的理理论论和和一一般般方方法。法。2023/5/2421、基本概念；基本概念；2、迭代法；迭代法；3、算子的范数；算子的范数；4、巴拿赫空间中的迭代法；巴拿赫空间中的迭代法；5、非线性方程的迭代法；非线性方程的迭代法；6、可分核；可分核；7、普遍的有限秩；普遍的有限秩；8、全连续算子；全连续算子；9、全连续厄米算子；全连续厄米算子；10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理；、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理；11、积分方程的数值计算；、积分方程的数值计算；第五章第五章 积分方程积分方程 2023/5/243 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 一、积分方程的定义一、积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为积分方程。积分方程。一般的线性积分方程，可写为如下的形式一般的线性积分方程，可写为如下的形式其中，和其中，和 已知。已知。是未知函数，是未知函数，积分方程的核，也是已知函数。积分方程的核，也是已知函数。被称为被称为本征值的作用）本征值的作用）是常数因子（经常起一是常数因子（经常起一2023/5/244若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。积分限为常数的，称为积分限为常数的，称为Fredholm 弗雷德霍姆方程。弗雷德霍姆方程。积分限中有一个是变数的，称为积分限中有一个是变数的，称为volterra伏特拉方程伏特拉方程 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 积分方程的核，积分方程的核，是是 的连续函数。的连续函数。或平方可积，称核或平方可积，称核为非奇性核或为非奇性核或fredholm核。核。此外，还有弱奇性核及此外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核奇性核二、积分方程的分类二、积分方程的分类 1）按照积分上下限按照积分上下限2）按照未知函数是否在积分内按照未知函数是否在积分内第一第一 类类 第二第二 类类 3）按照积分的核进行分类按照积分的核进行分类2023/5/245 5.1 基本概念基本概念 三、积分方程的算子形式三、积分方程的算子形式 积分方程也可采用算符的形式来表示。即积分方程也可采用算符的形式来表示。即 其中其中K为积分算子为积分算子 若算子方程若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决的逆存在，则问题在形式上就解决了。此时了。此时 5 积分方程法积分方程法 2023/5/2465.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 如果积分方程的核具有如下的形式如果积分方程的核具有如下的形式 则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等的方法来求解。的方法来求解。以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。例例.求解积分方程求解积分方程 解：令解：令则式则式(1)可以变为可以变为 (1)5 积分方程法积分方程法 (2)(3)2023/5/247 5 积分方程法积分方程法 显然，采用迭代的方法，将式显然，采用迭代的方法，将式(3)代入代入(2)，得，得这个方程组的解是这个方程组的解是代入式代入式(3)就可以得到积分方程的解为就可以得到积分方程的解为注意有两个注意有两个 的值可使上式的解变为无穷大。当的值可使上式的解变为无穷大。当 取某些特取某些特殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的 值称为值称为积分方程积分方程的本征值的本征值，而相应的非零解称作，而相应的非零解称作本征函数本征函数。5.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2023/5/248定理定理1.如果如果 5 积分方程法积分方程法 齐次方程齐次方程 有唯一解；有唯一解；若若 是本征值，则齐次方程是本征值，则齐次方程从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果退化核有退化核有N项，显然将有项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。个本征值，当然它们不一定都不同。既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的，既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的，所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人们称为们称为弗雷德霍姆定理弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。，在此我们不作证明。不是本征值，则对于任何的非齐次项不是本征值，则对于任何的非齐次项 ,非非 至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于的，线性独立的本征函数只有一个。的，线性独立的本征函数只有一个。5.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2023/5/249定理定理3.如果如果 是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件是：是：与转置齐次方程的一切解正交，即与转置齐次方程的一切解正交，即 定理定理2.如果如果 不是一个本征值，那么不是一个本征值，那么 也不是转置方程也不是转置方程 5 积分方程法积分方程法 至少有一个平凡解。至少有一个平凡解。的一个本征值；如果的一个本征值；如果 是一个本征值，则是一个本征值，则 也是转置方程的一也是转置方程的一个本征值，即个本征值，即 其中其中 满足式满足式5.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2023/5/2410 5 积分方程法积分方程法 并对并对x 积分，便可得定理积分，便可得定理3的正交关系。的正交关系。事实上，定理事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置具有同样的本征值。如果我们以具有同样的本征值。如果我们以 乘以乘以 需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。5.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2023/5/2411 5 积分方程法积分方程法 例例2.求解积分方程求解积分方程解：令解：令代入原式，有代入原式，有 所以所以解此微分方程可得解此微分方程可得于是得于是得把它再代入原方程可求得把它再代入原方程可求得，因此，因此 5.2 退化核的方程的解法退化核的方程的解法 2023/5/2412 5 积分方程法积分方程法 到到 于是得于是得5.3 具有位移核的方程的求解具有位移核的方程的求解 如果核仅仅是如果核仅仅是 的一个函数，即所谓的位移核且积分范的一个函数，即所谓的位移核且积分范围是围是，则可以应用傅立叶变换来求解。考虑方程，则可以应用傅立叶变换来求解。考虑方程 对此方程进行傅氏变换，并记对此方程进行傅氏变换，并记则由卷积定理有则由卷积定理有2023/5/2413 5 积分方程法积分方程法 5.3 具有位移核的方程的求解具有位移核的方程的求解 因此因此如果我们能求上式的逆变换，就能得到方程的解。如果我们能求上式的逆变换，就能得到方程的解。如果积分区间是从如果积分区间是从0到到x，具有一位移核，且被积函数对于具有一位移核，且被积函数对于 则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有相应的卷积积分则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有相应的卷积积分定理。定理。2023/5/2414 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 求解积分方程求解积分方程 的另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似的另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似将此式代入原方程将此式代入原方程 右边的积分中，便得到右边的积分中，便得到一级近似一级近似 再将一级近似代入原式的右边，便得到再将一级近似代入原式的右边，便得到 二级近似二级近似 零级近似零级近似 2023/5/2415 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 重复迭代，得级数重复迭代，得级数 其中其中 被称为被称为诺依曼级数诺依曼级数或积分方程的或积分方程的诺依曼解诺依曼解。可以证明，如果核可以证明，如果核 和和 在区间在区间 上连续，上连续，对于足够小的对于足够小的 ，该级数解将收敛。，该级数解将收敛。2023/5/2416 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 例例3.求解描述粒子运动的薛定谔方程求解描述粒子运动的薛定谔方程表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能，表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能，V(r)表示作用势，表示作用势，E表示系统的总能量，它可表为表示系统的总能量，它可表为解：方程又可写为解：方程又可写为此方程具有边界条件此方程具有边界条件2023/5/2417 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 边界条件边界条件,第一项表示入射粒子的平面波，第二项表示入射粒子第一项表示入射粒子的平面波，第二项表示入射粒子与与Vr)的作用而散射的粒子的球面波。的作用而散射的粒子的球面波。于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程 的格林函数为的格林函数为 这样，我们可以将散射问题转变为积分方程这样，我们可以将散射问题转变为积分方程2023/5/2418 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 其中其中 ,第一项是用来调整解使之满足边界条件的补充修正函数。第一项是用来调整解使之满足边界条件的补充修正函数。解可以写为诺依曼级数解可以写为诺依曼级数由第一代迭代，即取由第一代迭代，即取 我们可得到一非常重要的结果，被称作我们可得到一非常重要的结果，被称作玻恩玻恩(Born)近似近似记记2023/5/2419 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 继续迭代得继续迭代得于是解可表示为级数于是解可表示为级数这个级数解当这个级数解当 较小时，便能很快收敛。较小时，便能很快收敛。2023/5/2420 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 通过迭代解法将通过迭代解法将 g(x)作为作为f(x)的零级近似，代入得方程的一级的零级近似，代入得方程的一级近似，继续下去，得到近似，继续下去，得到由第二类的弗雷德霍姆方程由第二类的弗雷德霍姆方程这个级数解是非收敛的条件可以利用算子的性质进行讨论这个级数解是非收敛的条件可以利用算子的性质进行讨论2023/5/2421 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 将迭代解法表示为更为抽象的算子形式将迭代解法表示为更为抽象的算子形式注意到虽然注意到虽然K是积分算子，但是积分算子，但I不是。当不是。当K在某种意义下在某种意义下“小小”，则我们可以将其展开为，则我们可以将其展开为因为已经要求因为已经要求当当K作用在作用在V中的任何元素上时产生中的任何元素上时产生V中的另一个中的另一个元素，元素，所以可把所以可把 K n 简单定义为简单定义为K的连续作用：的连续作用：若算子方程若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决的逆存在，则问题在形式上就解决了。此时了。此时 2023/5/2422 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 对于对于K的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算子，当它作用在子，当它作用在V上时，所产生的客体不在上时，所产生的客体不在V中。例如：考虑在中。例如：考虑在0,1上定义的单变量的平方可积函数空间上定义的单变量的平方可积函数空间L20,1，将算子，将算子d/d x作作用在这个空间上，显然，用在这个空间上，显然，是属于是属于L20,1空间的，但空间的，但不属于不属于L20,1，因此，因此 d/d x 不能把不能把L20,1空间中的每一个元素变空间中的每一个元素变换成同一空间中的另一个元素，所以对我们的要求来说它不换成同一空间中的另一个元素，所以对我们的要求来说，它不是可允许的算子。是可允许的算子。2023/5/2423 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 收敛时，它就是方程收敛时，它就是方程 的解。上述级数式，数学家称的解。上述级数式，数学家称为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波恩首先在量子力学中运用了基本迭代的想法。恩首先在量子力学中运用了基本迭代的想法。假设假设的右边的右边“收敛收敛”(收敛上的引收敛上的引号号是因为还没对算子的收敛性仔细加以定义是因为还没对算子的收敛性仔细加以定义)因此它收敛所趋近的因此它收敛所趋近的算子是算子是(I-K)的逆算子，这是因为将的逆算子，这是因为将(I-K)从任意一边去乘从任意一边去乘都给出都给出I，因此我们猜测，当级数，因此我们猜测，当级数2023/5/2424则可以证明：当则可以证明：当 ，那么由，那么由 5 积分方程法积分方程法 5.4 迭代解法迭代解法 假设假设:a)级数解级数解收敛的条件：收敛的条件：b)在在a,b 内，内，有界，即有界，即c)存在，且等于一个有限的常数存在，且等于一个有限的常数C.表示的诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数表示的诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数收敛，收敛，M就必须小于就必须小于 。很容易构造出一些核，对于。很容易构造出一些核，对于M大于大于 但它的诺依曼级数仍然收敛。即该条件是但它的诺依曼级数仍然收敛。即该条件是保障诺依曼级数收敛的充分非必要条件。保障诺依曼级数收敛的充分非必要条件。2023/5/2425 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 求解积分方程求解积分方程 用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一个更完善的级数解用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一个更完善的级数解。通过细分积分区间通过细分积分区间 ，用求和代替积分，解得到，用求和代替积分，解得到的代数方程，然后讨论无限多的细分的极限，结果得到积分方程的代数方程，然后讨论无限多的细分的极限，结果得到积分方程 的解为的解为 其中其中 被称为解核，是两个无穷级数的比被称为解核，是两个无穷级数的比 2023/5/2426 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中其中 而而 的定义为的定义为其中，行列式其中，行列式 2023/5/2427 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 其中，行列式其中，行列式的定义为的定义为 可以证明可以证明弗雷德霍姆解法的重要性在于其是收敛的，而不像诺依曼级数弗雷德霍姆解法的重要性在于其是收敛的，而不像诺依曼级数 常是发散的，本征值可通过分母函数常是发散的，本征值可通过分母函数 求得。求得。2023/5/2428 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 例例.求解方程求解方程其中其中 是已知函数，而是已知函数，而 解：此处核为解：此处核为，故由式，故由式 有有 2023/5/2429 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 再利用式再利用式 可计算出可计算出 ，从而从而2023/5/2430 5 积分方程法积分方程法 5.5 弗雷德霍姆解法弗雷德霍姆解法 故由式故由式 有有 代入解核公式得代入解核公式得将此结果代入原方程即得需求解方程的解为将此结果代入原方程即得需求解方程的解为 2023/5/2431