常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习.doc

常微分方程学习活动3
第一章 初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题
1．微分方程是 二 阶微分方程．
2．初值问题的解所满足的积分方程是 ．
3．微分方程是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言）
4．微分方程是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言）
5．微分方程是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言）
6．微分方程的所有常数解是　　 　　．
7．微分方程的常数解是 ．
8．微分方程的通解为　　 　　．
9．微分方程的通解是 ．.
10．一阶微分方程的一个特解的图像是　　二 　　维空间上的一条曲线．

二、计算题
1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：
（1）
（2）
（3）
答（1）一阶，非线性；（2）四阶，线性； （3) 三阶，非线性.

2．用分离变量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（1）解 通积分为
（2）解 当时，分离变量，两端取积分得

即
通积分为
另外，是常数解，
注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。
（3）解 当时, 方程可变为 ，
通积分为 或 ,
上式代入初值条件.
得. 于是初值问题解为 .

3．解下列齐次线性微分方程
（1）
（2）
（1）解 显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上面方程的解, 从而 是原方程的解.
当时, 分离变量得, . 两端积分得(C)
将换成, 便得到原方程的解 , (C).
故原方程的通解为（为任意常数）及 .
（2）解 显然是方程的解.
当时, 原方程可化为 . 令, 则原方程可化为
, 即
易于看出, 是上式的解, 从而是原方程的解.
当时, 分离变量得, . 两端积分得 (C).
将换成, 便得到原方程的解 (C). 故原方程的通解为 .
4．解下列一阶线性微分方程：
（1）
（2）
（1）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得.
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .
（2）解 先解齐次方程 . 其通解为 .
用常数变易法, 令非齐次方程通解为 .
代入原方程, 化简后可得 .
积分得到 .
代回后即得原方程通解为 .

5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
（1）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得
.
令, 代入有 它的解为
于是原方程的解为，及
（2）解 显然是方程解. 当时, 两端同除, 得
.
令, 代入有
它的解为 ，
于是原方程的解， 及

6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
（1）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为
,
即 .
（2）解 因为 , 所以这方程是全微分方程, 及 在整个平面都连续可微, 不妨选取. 故方程的通积分为
,
即 .

7．求下列方程的积分因子和积分：
（1）
（2）
（1）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子.
由公式（1. 58）得积分因子，即
于是方程 为全微分方程.取 . 于是方程的通积分为. 即 .
（2）解 因为 , 与y无关, 故原方程存在只含x的积分因子. 解方程
由公式（1. 58）得积分因子，即
于是方程 为全微分方程. 取 . 于是通积分为. 即.
8．求解下列一阶隐式微分方程
（1）
（2）
（1）解 将方程改写为
即或
解得通积分为：,
又是常数解.
（2）解 显然是方程的解. 当时, 方程可变为
, 令,
则上面的式子可变为
. 解出u得, . 即 .
对上式两端积分得到方程的通解为

9．求解下列方程
（1）
（2）
（1）解 令 , 则. 代入原式得.
解出得 .
这是克莱洛方程，通解为 .
即 .
解之得 （为任意常数）.
（2）解 化简得 ， 即
求积分得 .
.

三、证明题
1．设函数，在上连续，且， （a, b为常数）．求证：方程 的一切解在上有界．
证明 设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0, 则

由于，所以对任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞时 有

令，则

于是得到

又在[x0，x1]上y(x)有界设为M2，现取 ，
则

2．设在上连续，且，求证：方程

的一切解，均有．
证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为

取极限

=

四、应用题
1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为, 而物体在15分钟内由 冷却到 , 求物体冷却到所需的时间.
解 设物体在时刻t的温度为，由题意满足初值问题

其中为常数．
解得
设物体冷却到40℃所需时间为，于是由得

解得 52分钟.

2．重为100kg的物体，在与水平面成30°的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．

．解 取初始下滑点为原点，轴正向垂直向下，设 时刻速度为 , 距离为, 由题意满足初值问题

解得
再由解得
于是得到5秒后， ， , ．

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