理学旋转矢量表示法振动合成.pptx

第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法谐振动过程中机械能守恒谐振动过程中机械能守恒!第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法一、旋转矢量一、旋转矢量其模为简谐振动的振幅其模为简谐振动的振幅A A，绕绕o点逆时针转动，角速度点逆时针转动，角速度大小大小 ，为谐振动角频率。，为谐振动角频率。第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法当当 时时1.1.t=0时，矢量与时，矢量与x轴夹角为谐振动的初相轴夹角为谐振动的初相 ，时时t时刻与时刻与x轴夹角为轴夹角为t时刻谐振动的位相时刻谐振动的位相二、表示法二、表示法 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法2.矢量的矢端在矢量的矢端在x轴上投影点做谐振动轴上投影点做谐振动.3.旋转一周，投影点在旋转一周，投影点在x轴上作一次全振动，所用时间与轴上作一次全振动，所用时间与谐振动的周期相同谐振动的周期相同 。第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法4 4.上半周上半周 v0;v0v0 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法三：速度和加速度的表示三：速度和加速度的表示 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 （旋转矢量旋转一周所需的时间）旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 .1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间.同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们间间步调步调上的上的差异差异.为其它为其它超前超前落后落后反相反相 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法例例1 1 计算下列情况的初相位计算下列情况的初相位 (1)t=0,x=A,v=0(2)t=0,x=0,v=-A (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0解解（1）x=Acos=A cos=1 v=-A sin =0 sin=0 =0 (2)x=Acos=0 cos=0 v=-A sin =-A sin=1 =/2 o oA Ax xoAxv=0(1)(2)第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法解解（3）x=Acos=0 cos=0 v=-A sin =A sin=-1 =-/2 (4)x=Acos=A/2 cos=1/2 v=-A sin 0 =/3=-/2 =/3xoAv(3)oA/2xv(4)例例1 1 计算下列情况的初相位计算下列情况的初相位 (3)t=0,x=0,v=A(4)t=0,x=A/2,v0 sin0 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法例例2 2：一物体沿一物体沿x x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.120.12m m，周期周期为为2 2s s。t=0t=0时，位移为时，位移为0.060.06m m，且向且向x x轴正向运动。轴正向运动。（1 1）求物体振动方程；）求物体振动方程；（2 2）设）设t t1 1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t t1 1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（解：（1 1）设物体谐振动方程为）设物体谐振动方程为由题意知由题意知 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法方法一用数学公式求方法一用数学公式求 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法方法二用旋转矢量法求方法二用旋转矢量法求 第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法平衡位置平衡位置（2 2）设）设t t1 1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t t1 1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。方法一：方法一：第四章第四章 机械振动机械振动4 3 谐振动的谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法-AAX方法二：方法二：（2 2）设）设t t1 1时刻为物体第一次运动到时刻为物体第一次运动到x=-0.06mx=-0.06m处，处，试求物体从试求物体从t t1 1时刻运动到平衡位置所用最短时间。时刻运动到平衡位置所用最短时间。4-44-4谐振动的合成谐振动的合成（Superposition of Harmonic Oscillation)引：引：-一：两个同方向同频率简谐运动的合成一：两个同方向同频率简谐运动的合成1 1）三角函数法）三角函数法tx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率仍为同频率 的谐振动的谐振动 2 2）矢量法）矢量法证明：证明：所代表的谐所代表的谐振动就是合振动振动就是合振动 矢量代表的谐振动的圆频率与振动矢量代表的谐振动的圆频率与振动 相同；相同；所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振幅与初相。幅与初相。(1)(1)振幅振幅YXOa a与三角函数求得的振幅相同。与三角函数求得的振幅相同。与三角函数求得的初相相同。与三角函数求得的初相相同。结论：结论：所代表的谐振动就是合振动所代表的谐振动就是合振动利用利用矢量矢量求求合振动合振动只要利用只要利用平行四边形法则平行四边形法则求出各谐振动的合振动矢量即可。求出各谐振动的合振动矢量即可。(2)(2)位相位相YXO1 1 相位差相位差 讨论讨论合振幅最大合振幅最大2 2 相位差相位差合振幅最小合振幅最小3 3）一般情况一般情况二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐振动的叠加的两个谐振动的叠加:一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂性的情况较复杂性的情况tx叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大的两个谐振动的叠加的两个谐振动的叠加若有：若有：设设但：但：为简单：为简单：先用函数曲线叠加：先用函数曲线叠加：声音时大时小声音时大时小-“-“拍现象拍现象”频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍.定量分析：定量分析：用和差化积公式：用和差化积公式：随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化很快可看随时间变化很快可看作谐振动的部分。作谐振动的部分。振动的圆频率振动的圆频率合振动的振幅合振动的振幅若振幅变化的周期为若振幅变化的周期为T T拍拍 频频率率较较大大而而频频率率之之差差很很小小的的两两个个同同方方向向简简谐谐运运动动的的合合成成，其其合合振振动动的的振振幅幅时时而而加加强强时时而而减减弱弱的的现现象象叫叫拍拍。拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）振动频率振动频率拍现象的应用：拍现象的应用：1 1）较正乐器）较正乐器2 2）测量超声波频率）测量超声波频率3 3）接收等幅电报）接收等幅电报txtx拍现象拍现象是两个频率较高但相差不多的两个谐振动是两个频率较高但相差不多的两个谐振动的叠加。若相差甚远，叠加后已完全不是一个谐的叠加。若相差甚远，叠加后已完全不是一个谐振动。振动。注意注意tx傅傅里里叶叶定定理理：任任何何一一个个周周期期振振动动都都可可以以看看成成是是由由各各种种频频率率不不同同的的谐谐振振动动的的合合成成。即即周周期期T=2/的的周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：三：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成三：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或 （椭圆方程）（椭圆方程）讨论讨论2 2）3 3）用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图3 3）简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差四四：两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图例例1 1 两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲线如图，两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲线如图，求（求（1 1）分别求出两个谐振动方程；）分别求出两个谐振动方程；2 2）合振动方程。）合振动方程。02.0-5-5-2.5解解 ：练习十练习十 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 角频率角频率振幅振幅一一 阻尼振动阻尼振动阻尼力阻尼力固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数Xom 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线 b b）过阻尼过阻尼 a a）欠阻尼欠阻尼 c c）临界阻尼临界阻尼 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 二二 受迫振动受迫振动系统在周期性外力持续作用下的振动系统在周期性外力持续作用下的振动 t tx x稳定后，系统的运动是谐振动稳定后，系统的运动是谐振动 且其周期为外力的振动周期，且其周期为外力的振动周期，振幅与外力频率有关。振幅与外力频率有关。第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 三三 共振共振共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼共振频率共振频率共振振幅共振振幅 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 共振现象的应用：共振现象的应用：天坛的回音壁天坛的回音壁黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演 第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 随随后后在在大大风风中中因因产产生生共振而断塌共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动大桥在大风中产生振动 发发生生共共振振时时由由于于振振幅幅过过大大可可能能损损坏坏机机器器、设设备或建筑。备或建筑。第四章第四章 机械振动机械振动4 5 阻尼振动阻尼振动 教学基本要求教学基本要求 二二 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系相位）的物理意义及各量间的关系.三三 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动的振动方程示法，并会用于简谐运动的振动方程.一一 掌握掌握简谐运动的三个特征方程，依此会判断、简谐运动的三个特征方程，依此会判断、证明物体的振动是否简谐振动证明物体的振动是否简谐振动.（重点和难点）（重点和难点）四四 会计算会计算同方向、同频率简谐运动的合成规同方向、同频率简谐运动的合成规律，掌握它们的合成加强和减弱的条件，了解拍和相律，掌握它们的合成加强和减弱的条件，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点互垂直简谐运动合成的特点.五五 了解了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律件及规律.