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一种双赢的一对多供应链协调机制
摘要：本文中，我们研究一个互惠的供应链系统包括一个供应商和一组零售商，我们在基本的EOQ模型中采用假设，即，确定性需求，没有短缺性问题，并且在我们的研究中确定交货时间。我们还假设供应商有关于零售商相关成本参数的完整的知识。供应商的产品完全满足零售商的需求，所有的零售商都遵循一个整数比的策略，即，每个零售商购买或互惠的整数是供应商设定区间的整数倍。我们假定零售商的最大成本不会超过它的预算当采用供应商的产品设定区间时，在这个双赢的协调机制中，供应商采用一种价格折扣来弥补零售商因为采用供应商的产品区间设定而引起的成本的增加，因此，我们的价格折扣策略鼓励零售商协调他们的补货订单来适应供应商的成本节约策略。同样地，我们提出了一个储蓄共享政策，要求供应商分享其储蓄的一部分作为零售商愿意执行指定补货时间表的补偿，数据显示这种双赢的协调机制可以产生高效的成本节约对供应链中的供应商和零售商均是这样。结果还显示了供应商成本的减少并不能弥补零售商成本的增加当大的设定成本低于某个阈值的时候。
关键字： 供应链协调 双赢 批量规划
1.引言
在本研究中，我们考虑一个双赢的供应链模型，在这个模型里有一个供应商来满足一组异构零售商的需求，这个模型的目的是最大限度地减少供应商的年度总成本同零售商可能承受的最大成本对比。同时，这种这个折扣可以弥补零售商在库存成本上任何形式的增加，或者其它而外的节省。在典型的供应链系统中，供应商和零售商协调价格和批量，结果依靠两者之间的平衡的能力，在一些例子中，双方都不能达到最优结果，然而，在任何一个供应链中都有一个总的节约渠道如果双方合理使得规模和价格达到最优的话。
LU（1995年）提出了一个一个供应商多个零售商的整合库存模型，在这个模型中，供应商在购买协商中比零售商更有议价能力，这种模型是有用的，当这个供应商是核心供应商的时候，并且零售商没有多少能力去要求价格折扣，因此，供应商将获得所有的储蓄通过协调零售商的订货量和它们自身的生产数量，另一方面，零售商的成本会增加通过采用供应商的整合计划而不是使用最优的EOQ设定，为了获得更好的协调和建立与零售商长久的合作关系，我们建议双方建立一个双赢的价格折扣机制，特别的，供应商提供一种价格折扣来吸引零售商接受它的补货机制。价格折扣可以补偿零售商成本的增加和可能额外的节省。因此，本论文有四个方面的贡献。1，我们采用价格折扣作为一种利益共享会产生双赢的情况，2，我们探索了提出模型的优化结构，并且显示成本优化曲线是一个明智的凹面曲线当考虑T的时候，3，我们使用我们的理论在最优模型上，我们提议用高效的算法来解决最优情况4，我们对协调机制中的各种影响参数进行了广泛的探讨，数值研究表明，协调的有效性会增加随着持有成本率的下降，或者零售商数量的增多，同时主要的设定成本也会增加。
我们注意到存在着现实的场景可以使用LU’S模型来支持他们做出决策，PITTS和LEI在2004年支出供应商可以指挥一个多行业的议价能力在一下几个方面：
1.产品对买家来说是关键的：例如，就像是半导体行业同个人电脑生产厂家的供应关系一样。由于微处理器和其它专业芯片对个人电脑来说是重要的，因此，芯片供应商往往就有更强的议价能力。
2.产品具有高的转换成本：在重型机械和机床工具行业，不同产品的规格及公差等使得很难从一个供货商换成另一个供货商。此时，这些产品或组建的购货商就有较强的议价能力相比于购买者来说，这可以作为供应链协调好处的一个例证，台湾的精密机械工业的供应商通过加强同下游经销商的联系来获得优势。
3.高的供应商浓度：制药行业是一个典型的例子在这里相对少的企业生产各种类型的药品，供应商的浓度使得药品生产者有比医生、批发商和医院更高的议价能力，另一个例子是鸡肉加工行业，有高的供应商浓度同购买者如餐厅或食品分销商等比起来。
这里的双赢模型是LU’S模型的一个扩展，他的模型关注的是当零售商的成本最大时来降低供应商的年度最小成本。本质上来说，他放宽了GOYAL’S模型的假设限制，他的模型比之前的研究模型更加实际，如果要实施这个模型，供应商只要知道零售商的年度需求量和以前的订货频率，这些都可以从零售商以前的订货行为中查出来。
过去的数十年中，研究者们都在努力找到一些高效的策略来协调整个供应链中的库存，我们发现大多数的关于供应/配送的协调都以数量折扣作为协调机制。最近，V和P两个人使用了两个数学模型来协调供应链库存通过使用共同补货期纪元(CRE)和价格折扣，在这个模型中，供应商要求所有的零售商都要在CRE中放置补货订单，有趣的是，通过一系列的数据实验，V和P发现在一个给定的供应商订单处理成本阈值一下，CRE策略实际上增加了供应商和整个系统的成本。在这个阈值之上的值，供应商和系统的成本节约增加随着供应商和零售商订货处理成本的增加。然而，在他们的研究中，只有一个产品并且CRE中的值固定在了一个特定的值。WANG已经证明如果供应商愿意提供一个更高的整数比的协调策略，一个Stackelberg博弈策略就会等到来完善渠道的协调。
在本文章中，我们调查了多个项目的共同补货问题并且制定了价格折扣机制作为工具来将供应商的节约分一部分给零售商。在制作环境中，每一次机器设置时，大部分的设置成本同要生产的项目是相对独立的，另外，当生产一个项目时，会有一个小的设置成本和额外的固定成本依赖于本项目，通过协调不同的零售商，生产厂家可以减少他的平均的主要成本，同时，供应商通过为每个零售商提供价格折扣来作为协调的一种吸引机制。我们证明了协调的优势并且证明了获得供应商和零售商之间双赢的可能性。
本文组织如下：在第2部分，我们对问题进行简单介绍并且呈现了模型，第三部分，我们对模型的结构进行优化分析并且依赖我们的理论结果形成一个研究算法，第四部分，通过一系列的数据实验来验证研究算法的应用来解决实际优化问题，第五部分给出了一些总结。
2.问题描述
在供应链系统中，一个供应商供应n个零售商，并且供应商为零售商i生产项目i，同基本的经济订货批量模型（EOQ）和经济生产批量模型（EPQ）类似，我们有下列假设：供应商和零售商的规划范围是无限的，对每个项目i来说，生产速度和需求速度分别为Pi和Di，同时，不允许有缺少，没有库存空间范围限制。对供应商来说，主要成本S会发生对每个生产设置来说，而生产项目i的时候会有小的设置成本si，项目i的单位生产成本为ci，当零售商补货项目i时，会发生订货成本Ai（每单位），项目i的单位购买成本是ci’，零售商的补货是很快的，供应商和零售商i的持有成本率为r和ri’，持有成本同单位成本是成正比的，上面定义的所有参数都是已知的和确定的。
定义T作为供应商的生产设置间隔，每次项目i的装运补货是相同数量的，零售商i的补货间隔认为是Ti。为了协调供应商的生产和零售商的补货，在LU’S模型中，假设一个整数比策略，即Ti=kiT，
ki∈{1,2,3……}或{1/1,1/2,1/3……},因此，对每个项目i来说，补货间隔是供货商设置间隔的整数倍或整数的倒数倍，我们假定零售商的最大成本不会超过其预算约束，当采用供应商的产品设置间隔时，当零售商i的补货间隔为kiT时，零售商的年度总成本不会超过年度总成本的Bi倍（使用EOQ模型，这里，零售商I的补货间隔为Ti0），这里，零售商i的补货间隔为Ti,在这个双赢的机制中，供应商提供了单位减低成本zi来补偿零售商i成本的增加（来自于采用供应商的生产设置间隔）。因此，我们的策略鼓励零售商来协调他们的补货订单来适应供应商的产品节约策略，同时，这策略要求供应商分出他们的一部分节约成本给零售商由于他们采用了制定的补充时间表。
2.1符号和假设
我们定义的符号如下所示：
n供应商的数量
Pi为零售商i生产项目i的生产速度
Di零售商i对项目i的需求速度
S当生产设置时的主要成本
si生产项目i时的小的设置成本
ci项目i的单位生产成本
ci’项目i的单位购买成本
Ai当零售商i补货项目i时的订货成本
r供应商的持有成本率
ri’零售商i的持有成本率
T供应商的生产间隔设置
Ti零售商i的补货间隔
kiT对于Ti的乘数
R通过EOQ给定的最小节约成本与总成本的比率
Zi对零售商i的价格补偿
Bi零售商i的预算约束因素
我们有以下假设：
1.一个供应商供应n个零售商，并且供应商为零售商i供应项目I;
2.供应商和零售商的规划范围是无限的；
3.没有短缺，并且没有库存空间限制；
4.零售商的补货是及时的；
5.持有成本同单位成本是成正比的；
6.所有的参数是已知的和确定的。
2.2数学模型
我们考虑这个情形，当每个零售商有最大成本是，使得供应商的年度总成本最小同时使用价格折扣来补偿零售商因为库存或其它原因而引起的成本的增加，供应商总的相关成本包括订单处理成本和库存持有成本加上价格折扣成本。对于库存持有成本的推导细节，可参考LU’S的论文：
MinMB(T,k1,k2,….kn,zi)=1/T(S+)+ (1a)
s.t. T≥0， （1b）
1/2(Ti0/kiT+ kiT/ Ti0) ≤βi (1c)
ki∈{1,2,3……}∪{1/1,1/2,1/3……}，i=1,2,…..n (1d)
mi=[ki(1-Di/Pi)],i=1,2,…..,n, (1e)
Ti0=(2Ai/ri^ci^Di)^1/2 ,i=1,2,……,n, (1f)
Dizi≥（Ai/kiT）+1/2 ri^ci^Di kiT-(1-R)2(Ai1/2 ri^ci^Di)^1/2,i=1,2,..n (1g)
zi≥0, i=1,2,3,…n, (1h)
该模型的目标函数由等式中的MB(T,{ki},{zi})来确定，决策变量为T,{ki}和{zi}对应着供应商生产和销售商补货以及供应商为每个零售商提供的价格折扣，等式（1f）中Ti0是EOQ模型中零售商i的补充间隔，Ti0帮助界定了每个零售商可能有的最大成本，当零售商i的补充间隔是kiT时，约束（1c）要求零售商每年的总成本不超多每年总成本的BI倍，在使用EOQ模型时（这里零售商i的补充间隔为Ti0）约束（1d）表明了我们模型采用的整数比策略，即Ti=kiT， ki∈{1,2,3……}或{1/1,1/2,1/3……}，因此，每个零售商i的补货间隔应是供应商设置间隔的整数倍或整数的倒数倍。
当ki>1时，我们发现供应商应设置产品i的间隔在每一次的间隔kiT时，由于项目i的总的需求时间间隔是kiDiT，生产的时间是kiDiT/Pi，生产项目i的时间不是从0开始的，而是在时间miT处开始生产，等式(1e)中定义的mi,约束（Ig）表明零售商i将会采用供应商指定的补偿间隔，只要他们提供的价格折扣能够补偿库存或其他额外支出引起的成本增加，我们定义ci’’定义价格折扣下的单位成本。
3.理论分析和过程解决
在详细讨论过程解决之前，我们先概括一下（1）首先，我们用图形展示了MB(T)中的函数曲线包括整数和比例策略，在整数比策略下，我们证明了MB(T)函数最优的结构是一个分段凸曲线，（2）我们介绍了如何在分段凸曲线中定位分段点和连接点，（3）下限和上限间的所有分段点和连接点都排序成列用于我们解决过程的主干。（4）解决方案的过程从一个凸区间跳跃到另一个来取得局部最优。（5）总的解决方案就是从上下限间的所有局部最优中得到。
3.1 分段凹面性质
整数比策略要求每个项目i的补充间隔是供应商设置间隔的整数倍或整数的倒数倍，即，Ti=kiT， ki∈{1,2,3……}或{1/1,1/2,1/3……} ，我们有γi=Ti0(βi-（βi2-1）^1/2)和θi=Ti0（βi+（βi2-1）^1/2对于给定的Bi和Ti的值，我们可以通过（1c）得到一个可行范围内ki的值，在接下来的讨论中，我们将会讨论ki的可行范围，当 ki∈{1,2,3……}或{1/1,1/2,1/3……}，当T, γi和θi取各自的值时。
3.1.1 ki∈{1/1,1/2,1/3……}
当ki∈{1/1,1/2,1/3……}时，项目i的子问题可以这样描述：
(MBR,i)Min MBR,i(ki,T,zi)=si/T+rT/2 ciDi(1+ki-Di/Pi)+ Di zi (2a)
s.t. Dizi≥（Ai/kiT）+1/2 ri^ci^Di kiT-(1-R)2(Ai1/2 ri^ci^Di)^1/2,i=1,2,..n (2b)
ki(T) ∈{1/1,1/2,1/3……}∩[1/T/γi,1/T/θi] (2c)
等式（2b）保证了供应商i能够获得的价格折扣可以补偿因为库存或其他方式而引起的成本的增加。对于一个给定的值T，最优乘数ki(T)在约束（2c）范围内，同时，zi的值可以通过等式（2b）中的ki和T值来确定，因此，对于一个给定的T值，MBR,i（T）是子问题（MBR,i）的优化结构，我们可以通过在约束（2c）中选择优化乘数ki(T)很容易得到MBR,i（T）的值，由于MBR,i（T）是关于单一变量T的函数，我们可以画出MBR,i（T）关于T的函数，图1显示了MBR,i（T）的特性，即，它是关于T的分段凹面函数。

3.1.2 ki∈{1,2,3……}
相似的，对于ki∈{1,2,3……}的情况，项目i的子问题可以描述如下：
(MBR,i)Min MBL,i(ki,T,zi)=si/kiT+rkiT/2 ciDi(2-Di/Pi-2mi/ki)+ Di zi (3a)
s.t. ki(T) ∈{1,2,3……}∩[γi /T, θi /T] (3b)

对于给定的值T，MBL,i(T)是子问题（MBL,i）的优化方案，我们用图2来表示MBL,i(T)图2显示函数MBL,i(T)也是一个分段凹面函数。

定理1：MBR,i（T）和MBL,i(T)都是关于T的分段凹面曲线。
定理2：函数MBi（T）是关于T的分段凹面曲线。
证明，很明显，MBi（T）=min{ MBR,i（T）, MBL,i(T)},事实上，MBL,i(T)是不会与MBR,i（T）重叠的，因此，我们有MBi（T）= MBR,i（T）当
ki∈{1/1,1/2,1/3……}时，MBi（T）= MBL,i(T)当ki∈{1,2,3……}时。
命题1 MB(T)是关于T的分段凹面函数
证明，因为函数MB(T)=s/T+Σni=1 MBi（T）,这个证明可以很容易得到通过考虑一下两个方面：
（1）通过定理2，Σni=1 MBi（T）是n个分段凹面曲线的和，因此，Σni=1 MBi（T）很明显是另一个分段凹面曲线。
（2）通过增加一个凹面函数S/T，我们也有MB(T)=s/T+Σni=1 MBi（T）仍然是一个分段凹面函数。
3.2 分段点和连接点的位置。
本节中，我们讨论分段凹面曲线MB(T)中可能的分段点和连接点，根据等式（1c）,对于给定的值Ki，T应该满足γi/ki≤T≤θi/ki，换句话说，T的范围在γi/ki与θi/ki之间，因此，可能的间断点位于γi/ki与θi/ki。
MBi(T)连接点的定义是将两个凹面曲线连接起来的特定得点T，这些连接点决定了在哪些T值处，我们应该改变ki的值来获得MBi(T)函数的优化结果。
3.2.1对于ki∈{1/1,1/2,1/3……}
连接点的位置可以通过以下定理获得。
定理3：当ki=1/x和ki’=1/(x+1)时函数MBi(T)的连接点可以表示如下：
Ti(ki)=( 2Ai(x) ×（x+1）/( rici+ri^ci^)Di)^1/2 (4)
证明；由于函数MBR,i（ki）的值等于函数MBR,i（ki’）在连接点处的值，因此有以下等式：
rT/2 ciDi(1+(1/x)-Di/Pi)+( Ai(x)/T)+ rici DiT/2x=
rT/2 ciDi(1+(1/(x+1))-Di/Pi)+( Ai(x+1)/T)+ rici DiT/2(x+1) (5)
因此，分段点的位置可以通过等式5来定位。
注意Ti(ki)的值不是有效的分段点如果它不在范围（x+1）γi和xθi之间时。
3.2.2对于ki∈{1,2,3……}
当ki∈{1,2,3……}时，MBL,i（ki）是一个分段凹面曲线，尽管它没有MBR,i（ki）的性质，为了找出连接点，我们先检查两个分段点之间可能的连接点，在T轴曲线中，假定b1和b2是两个相邻的分段点且b2>b1，关于b1和b2的ki*（T）的优化解为ki*（b1）和ki*（b2）假定研究从b2到b1，由于目标函数MBL,i（ki）中mi和Di/Pi的影响，
ki*（T）并不需要从ki*（b2）从ki*（b2）+1当T从b2变到b1时。
为了追踪ki*（T），我们需要回答下列三个问题：
1.怎样呈现区间（b1,b2）之间的连接点。
2.在区间（b1,b2）之间最多有几个可能的候选连接点。
3.这些候选连接点是否有效。
让ki*（b2）=p并且ki*（b1）=p+x,ki=u和ki’=v产生的连接点可以表示成Ti(u,v)，并且表示如下：
Ti(u,v)=(Wi/(ui+vi))^1/2 (6)
这里有

Wi=(si/u-si/v+Ai/u-Ai/v),
Ui=vrciDi/2(2- Di/Pi-2mi/ki)- urciDi/2(2- Di/Pi-2mi/ki)
Vi= vri^ci^Di/2- uri^ci^Di/2
所有可能的（u,v）组合为：
U=p,p+1,……p+(x-1); v=u+1,u+2,…..p+x
图3显示了需要检查的可能的连接点当ki*（b2）=p=3，ki*（b1）=p+x=3+3=6时。
所有可能的点位
（u,v）=(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

定理四：对于ki∈{1,2,3……}时b1和b2分别为相邻的两个分段点，且b2>b1，Ti(u,v)可以表示如下：
Ti(u,v)=(Wi/(ui+vi))^1/2 (7a)
这里有
Wi=(si/u-si/v+Ai/u-Ai/v), (7b)
Ui=vrciDi/2(2- Di/Pi-2mi/ki)- urciDi/2(2- Di/Pi-2mi/ki) (7c)
Vi= vri^ci^Di/2- uri^ci^Di/2 (7d)

命题2：对于单个零售商i的所有连接点，都可以在MB(T)曲线中获得。
根据以上定理和定义，可以确定MB(T)曲线中的间断点和连接点的位置，假设在区间[T1,T2]中有p个间断点和q个连接点，那么将会有p+q+1个子区间，也就是说，有p+q+1个分段凹面曲线。
推论1：设bL和bR为MB(T)子区间的端点，那么MB(T)的优化乘数在区间（bL，bR）之间。
3.3 对于给定T的最优ki
命题3，对于给定T，我们可以得到零售商i的ki*（T）
Ki(T)=arg min MBR,i(T), ki(T) ∈{1/1,1/2,1/3……}∩[1/T/γi,1/T/θi] (8)
ki∈{1/1,1/2,1/3……}

定理四：对于ki∈{1,2,3……}，需要计算的次数设为J^
Ki(T)=max{ki(T),[ γi/T]} (9)
Ki(T)=[(1+(1+8(si+Ai)Pi/T2[riciDi(2Di-Pi)+ ri^ci^Di])^1/2)] (10)
J^=[θi/T]- Ki(T)+1 (11)
ki∈{1, 2, 3……}
通过公示（1c）可知ki（T）的范围为（γi, θi），零售商i的目标函数可以描述如下：
MBi(ki)= (si+Ai)/ Ki(T)+ rkiTciDi/2(2- Di/Pi)+ ri^ci^Di Ki(T)/2-rTciDimi-
R(2 Ai ri^ci^Di)^1/2
注意到
(si+Ai)/ Ki(T)+ rkiTciDi/2(2- Di/Pi)
且有
Ki(T)（Ki(T)-1）<2[(si+Ai)Pi]/T2[riciDi(2Di-Pi)+ ri^ci^Di]< Ki(T)（Ki(T)+1）
3.4每个凹面区间的局部最小值
命题5：b1和b2是函数MB(T)上两个相邻的间断点，且b1i)^1/2 (13)
此时，MBR忽略了约束（1c）--(1f),很显然，问题得到的目标值不大于MB(T)对于任意的T>0来说。
4.数值试验
这一部分，我们首先对LU’S论文中提到的策略进行了性能的比较。显示建议的策略能够改善供应商和零售商的性能。为了研究变化参数对协调有效性的影响，我们做了一系列的实验。我们使用一下参数：Bi=1.1和R=0.1,并且零售商的数量，供应商的主要设置成本和持有成本率是变化的，因为这些参数在传统的库存管理系统中扮演者重要角色。直觉上，当主要设置成本增加时，可以通过协调节省更多。另一方面，持有成本速率影响仓储成本。供应商和零售商可能会增加持有成本因为一次大批量的生产，零售商的数量代表了协调的范围，这三个参数是影响协调有效性的显著因素。我们为所有的零售商设置预算限制Bi=1.1，它表明了零售商i的年总成本不会超过整个年总成本的Bi倍（当使用EOQ模型时）。我们设置R=1.1，R的主要功能是将成本节约分给零售商，它可以被认为是节约分隔因素。很明显，如果我们设置了一个高的R，那么节约的成本就会到零售商那边，这就依赖于供应商想分多少给零售商。
首先，我们比较lu’s文章中建议机制的性能，为了展示我们提出算法的性能，我们对四个策略进行了比较，第一个是从零售商和供应商两个角度来的EOQ策略，第二个（VB1）是一个供应商和一个零售商策略，这在LU’S的文章中也有讨论，第三个（LU）是有预算约束的综合策略，最后一个（MB）是我们的双赢策略。
表1比较了不同策略性能的解决方案，总体而言，我们提出的协调机制要比其他的策略性能好，例如，设置同样的数据（BY LU ），购买者，供应商和一个供应商，一个买方的协调机制中的成本节约分别为15.35%，24.44%，21.36%。

接下来的实验考虑了不同个数的零售商（N=5，10,20,50），5个不同水平的主要设置成本（S=$100,500,1000,2000,3000）和四个不同的持有成本率（r=0.05,0.1,0.15,0.2），总共有80个不同的数据集，对每个数据集，我们随机产生20个数据集合（表2）

我们提出的策略的性能对于不同水平的r，S和N在表3、4和图4中显示。
表3显示了持有成本率对一对一策略的影响（我们提议的方案），该表表明持有成本率越低协调的有效性越高。

图4显示了我们提议的策略和lu’s的关于一对一的解决方法的比率，我们建议的策略的有效性更高当主要设置成本高的时候。

表4表示一对一策略中的成本比率随着零售商数量的减少而变小，并且零售商的数量越多，有效性越高。

同样的，利用建议模型的理论性质，我们提出了一个有效的算法来解决建议模型的优化问题。这种算法在计算机上只需要几步就能得到。
5.结束语
在本文中，我们扩展了lu的整合库存模型，这个模型的目的是在零售商可能遇到最大的成本时时的零售商的年总成本最小，同时价格折扣可以补偿零售商因为任何原因引起的库存成本的增加，同时提供额外的节省。
我们从四个方面概括本论文的贡献。第一，我们引入价格折扣作为利益分享机制将会引起双赢的情况。第二，我们探索了建议模型的优化结构，并且表明最优成本曲线是关于T的一个分段凹面曲线（T即供应商的设置间隔值），第三，我们在最优结构化上使用理论结果，我们提出了一个高效的算法来解决该模型的最优解。第四，我们做了一系列的实验来探讨各种参数对协调机制的影响。数值研究表明协调有效性随着主要设置成本的增加而增加，或者零售商数量的增加，或者持有成本率的减少。
本文中提到的双赢的协调机制在很多方面都可以延伸，最近，我们正在探讨一个案例，当需求是价格敏感时，如何设计一个运输成本的折扣计划。
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