1、1、设计题目
用共轭梯度法求二次函数的极小点及极小值。
2、运行与程序
（1）运行：打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m文件夹为当前目录。
在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)
选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度0.01，0.0001,进行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。
（2）程序及说明：
function f=conjugate_grad_2d(x0,t)
%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-
2、4*x1-2*x1*x2的极值点
%已知初始点坐标：x0
%已知收敛精度：t
%求得已知函数的极值：f
x=x0;
syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量
f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi; %创建符号表达式f
fx=diff(f,xi); %求表达式f对xi的一阶求导
fy=diff(f,yi); %求表达式f对yi的一阶求导
fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值
fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值
fi=[fx,fy]; %初
3、始点梯度向量
count=0; %搜索次数初始为0
while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t %搜索精度不满足已知条件
s=-fi; %第一次搜索的方向为负梯度方向
if count<=0
s=-fi;
else
s=s1;
end
x=x+a*s; %进行一次搜索后的点坐标
f=subs(f,{xi,yi},x); %构造一元搜索的一元函数φ(a)
f1=diff(f); %对函数φ(a)进行求导
f1=solve(f1); %得到最佳步长a
4、 if f1~=0
ai=double(f1); %强制转换数据类型为双精度数值
else
break %若a=0，则直接跳出循环，此点即为极值点
end
x=subs(x,a,ai); %得到一次搜索后的点坐标值
f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi;
fxi=diff(f,xi);
fyi=diff(f,yi);
fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);
fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);
fii=[fxi,fyi]; %下一点
5、梯度向量
d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);
s1=-fii+d*s; %下一点搜索的方向向量
count=count+1; %搜索次数加1
fx=fxi;
fy=fyi; %搜索后终点坐标变为下一次搜索的始点坐标
end
x,f=subs(f,{xi,yi},x),count %输出极值点，极小值以及搜索次数
3、运行结果及分析
选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度0.01，0.0001,
（1）f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)
此程序运
6、行1秒后终止，结果如下：
X =[ 4, 2] %极小点坐标
f = -8 %极小值数值
count = 2 %迭代次数
f =-8
（2）f=conjugate_grad_2d([0,1],0.001)
此程序运行1秒后终止，结果如下：
X =[ 4, 2] %极小点坐标
f = -8 %极小值数值
count = 2 %迭代次数
f =-8
分析可得：
(1) 由结果看出，程序经过2次迭代，得到二次函数的极小值坐标[4,2],极
7、小值-8；表明共轭梯度法收敛速度较快，计算量较小，稳定性高。
(2) 选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],[1,1],都是经过2次迭代得到一致的结果；表明共轭梯度法初始点的选择不影响收敛结果。
(3) 选择迭代精度0.0001，程序将近运行4秒才结束；可知迭代精度越高时，程序运行的时候越长，所以在实际应用中选择适当的迭代精度，有利于提高计算的效率。
(4) 从共轭梯度法的计算过程可以看出，第一个搜索方向取作负梯度方向，这就是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。
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