方法归纳构造基本图形解直角三角形的实际问题习题.doc

方法归纳 构造基本图形解直角三角形的实际问题
类型一 构造单一直角三角形解决
【例1】如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD为多少米？(取≈1.73，结果保留整数)

解：在Rt△ACB中，∠CAB=60°，CB=AC·tan60°=32.
∴DB=CB-CD=32-16≈39.
答：荷塘宽DB的长约为39米.
【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长.
变式练习1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米，≈1.732)

类型二 构造单一非直角三角形解决
【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200 m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位).

解：过点C作CD⊥AB于D.
在Rt△BCD中，∵∠B=30°，BC=200 m.
∴CD=BC=100(m)，BD=100 m,
在Rt△ACD中，∵tan∠CAB=,∴AD=≈72,
∴AB=AD＋BD=245(m).
答：隧道AB的长约为245 m.
【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长.
变式练习2 如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)

类型三 构造双直角三角形解决
【例3】如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)

解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
由题意得∠DAC=45°，∠DAB=60°，∵AD⊥BC,∴sin∠DAC=，
cos∠DAC=，tan∠DAB=,即sin45°=，cos45°=，
∴CD=AD=5，∵tan60°=，∴BD=5.
BC=BD-CD=5-5≈5.2(海里).
中国海监船赶到点C所用的时间为时，某国军舰到达点C所需的时间为时，
∵＜，∴中国海监船能及时赶到C地救援我国渔民.
【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果:
tanβ=,tanα=,∴a=-,b=,h=.

变式练习3 如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度.(≈1.7)

类型四 构造梯形解决
【例4】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的坡度为1∶，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长、迎水坡BC的长及BC的坡度(答案保留根号).

解：作DF⊥AB于点F,作CE⊥AB于点E.在Rt△ADF中,DF=45 m,=,
∴AF45m.在Rt△BCE中,CE=45 m,BE==45.
∴AB=(45+25+45)m.
BC==90(m),iBC==.
【方法总结】通过作梯形的高,把梯形转化为直角三角形和矩形,利用解直角三角形等的有关知识加以解决,注意分清坡角和坡度的不同.
变式练习4 如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E.BC=1.8 m，BD=0.5 m，∠A=45°，∠F=29°.
(1)求滑道DF的长(精确到0.1 m)；
(2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF.(精确到0.1 m，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)

参考答案
例1
变式练习1 在Rt△ACE中，∠CEA=60°，CE=BD=6,
∴tan∠AEC=，∴AC=CE·tan∠AEC=6tan60°=6，
∴AB=AC+BC=6+1.5≈10.39+1.5=11.89≈11.9(米).
例2
变式练习2 设BC=x海里，由题意，易得AB=21×(14-9)=105(海里)，则AC=105-x(海里).
在Rt△BCP中，tan36.9°=,∴PC=BC·tan36.9°=x.
在Rt△ACP中，tan67.5°=,∴PC=AC·tan67.5°=(105-x).
∴x=(105-x),解得x=80.
∴PC=x=60(海里),
∴PB==100(海里).
答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里.
例3
变式练习3 作DE⊥AB交AB的延长线于点E,则四边形BCDE是矩形.
∴BC=DE.∴∠DAE=60°,∠DBE=45°.
设DC=x,则AE=x-26.
∵tan∠DAE=,∴DE=AE·tan60°=AE.
∵tan∠DBE==1,∴DE=BE.
∴x=AE=(x-26),∴x≈61.5.
答：乙楼高为61.5米.
变式练习4 (1)在Rt△DEF中，∠DEF=90°，DE=BC=1.8，∠F=29°，
∵sinF=，∴DF==≈=3.75≈3.8;
(2)∵tanF=，∴EF==≈≈3.27.
在Rt△ABC中，∠ACB=90°.由∠A=45°得：AC=BC=1.8.
又∵CE=BD=0.5，
∴AF=AC+CE+EF≈1.8+0.5+3.27≈5.6.
答：DF的长约为3.8 m，AF约为5.6 m.