幂级数及泰勒展开习题解答.doc

幂级数及泰勒展开
一、求下列幂级数的收敛区间
1.
解：

当时，因 ， 所以收敛，
当时， 绝对收敛，
收敛区间为。
2.
解：

当时，为收敛的交错级数，
当时， 发散，
收敛区间为。
3.
解：
， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。
4.
解：

故当，即时级数绝对收敛。
当时， 发散，
当时， 为收敛的交错级数，
收敛区间为。
5.
解：

故当，即时级数绝对收敛。
当时，因为
，
所以 收敛，
当时，因为当时 所以发散，
收敛区间为。
6.
解：
故当即时级数绝对收敛。
当时， 为收敛的交错级数，
当时， 为收敛的交错级数，
收敛区间为。
二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数
1.
解：
故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。
当时， 为收敛的交错级数，
当时， 为收敛的交错级数，
收敛区间为。
令

2.
解：
故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。
当时， 发散，
当时， 发散，
收敛区间为。
令

3.
解：

当时，发散；当时，发散，
收敛区间为。
令

4.
解：
故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。
当时， （通项不趋于零）发散，
收敛区间为。
令

故

另解
三、求下列级数的和
1.
也可以考虑利用幂级数

2.

四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数
1.
解：
，
故该级数的收敛区间为。再由

因有界，是收敛级数的一般项，所以对任意的上式均成立。。
2.
解：
，
由 故该级数的收敛区间为。再由

因为绝对收敛级数的一般项，所以
对任意的上式均成立。。
五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数

常用幂级数展式：
（1）
（2）
（3）
（4）

（6）
（7）
基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。

1．
解：由，令得
。
2.
解：由，令得
。
3.
解：由，及令得
。
4.
解：

时，均为收敛的交错级数。
5.
解：由及，令得

6.
解：由，得

7.
解：
。
六、在指定点处将下列函数展开成幂级数
1.
解：由及
，令得
。
2.
解：。
七、求函数在处的阶导数
解：

。
八、设有两条抛物线和，记它们的交点横坐标的绝对值为
（1）求的表达式
（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积
（3）求级数的和
解：（1）;
（2）;
（3）由，得

幂级数部分习题课
常用幂级数展式：
（1）
（2）
（3）
（4）

（6）
（7）
基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。

补充例题

一、 把下列函数展成的幂级数
1.
解：。
2.
解：由

及
。
3.
解：由
及
。
4.
解：

而

故
。
二、 把下列函数在指定点展成幂级数
1. 在处
解：
2. 在处
解：

故

3. 在处
解：
。
4. 在处
解：由

及

三、 幂级数求和
步骤：1. 求出给定级数的收敛区间；
2. 两种途径：
适当变形逐项积分 常见函数之幂级数（几何级数等）逐
项求导得和函数
适当变形逐项求导常见函数之幂级数（几何级数等）逐项积分得和函数
1．
解：由，可知，故收敛区间为，
设，逐项积分得
。
2.
解：由，得，进一步可确定收敛区间为：
设，逐项求导得

3.
解：由，可知，故收敛区间为，

4.
解：由，得，进一步可确定收敛区间为：