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土木工程专业
有限元第一次作业

姓 名：
班 级：
学 号：
指导教师：

二 〇 一 五年 6月12日
题目：八节点三维规则六面体单元，已给定8个节点的坐标。试查资料并论述：

1、单元中位移函数u（x，y，z），v（x，y，z），w（x，y，z）和单元节点位移{δe }的关系式；
2、[ B ]矩阵的计算步骤和计算式；
3、单元刚度矩阵[ k e ]的一般计算方法和计算步骤；
4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性；
5、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe }怎样求单元中某一点A（x，y，z）的应力？

解：
1、取六面体单元的4个角点为节点，以其对称轴为轴。任一节点有三个方向的位移，此单元有8个节点，故总共有24个自由度。如图1所示，其中原点O取在长方体的几何中心，8个节点的编号为数学1~8，则此单元的位移列阵为：
3
8
6
7
4
5
2
1
X
Z
Y
O

图1
该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数，根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选取该单元的位移模式为：
（1-1）
将8个节点的坐标值代入上式，可列出8个节点位移分量的值为：
（1-2）
由式（1-2）的8个方程中可解出，将它们代入式（1-1），得：

将上式写成矩阵形式，为
（1-3）
其中，为三阶单元矩阵，而为形状函数矩阵，由于位移采用同样的插值形式，故有：
（1-4a）
上式中，各形状函数有：
（1-4b）
将式（1-4b）依次代入式（1-3），即得位移函数，，与单元节点位移的关系式，
其中，

2、根据空间问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下： （2-1）
其中：
（2-2）
即要求出矩阵中的元素，，。
代入（1-4b）中的表达式，可求出相应的。如的矩阵表达式为：
（2-3a）
同理，可求出任意的表达式，最终可求出应变矩阵。

3、根据虚功原理，在任意给出的节点虚位移下，单元节点力（外力）及内力所做的虚功之和应等于零，即：
（3-1）
单元节点虚位移以矩阵形式表达为：，则单元内各点将产生相应的虚位移与虚应变，它们都是坐标的函数，由下式可得：
， （3-2）
单元节点力：，则单元节点力的虚功为：
（3-3）
而内力虚功为：
（3-4）
其中： （3-5）
由此可得:

将单元节点力虚功与内力虚功代入，得：

则有： （3-6）
其中： （3-7）
即为所求的单元刚度矩阵。
应力矩阵为已知，且在三维应力状态下，弹性系数矩阵的一般形式为：
（3-8）
将按节点分块可表示为：
（3-9）
其中子矩阵的计算公式为：
（3-10）

4、证明：由单元的位移表达式（1-3）可知，该单元的位移在方向均呈线性变化，为线性位移模式。而因为在单元的边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有相同的节点位移值，这样即可保证两个相邻单元在其公共边界面上的位移是相同的，即相邻单元公共边界面位移是连续的。

5、根据空间问题的本构方程，单元应变可用节点位移表示如下：
（5-1）
由式（3-8）和式（2-2）可分别求出矩阵和，故由式（5-1），若已知单元8个节点的位移值，可求出单元中某一点的应力。
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