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高等流体力学练习题

第一章 场论基本知识
第一节 场的定义及其几何表达
1、 （RX21）设点电荷q位于坐标原点，则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电场强度，由电学知为：，其中ε为介质系数，为M点的矢径，。求电场强度的矢量线。
2、 （RX22）求矢量场，通过点M(2, -1, 1)的矢量线方程。

第二节 梯度
1、 （RX32）设为点M(x, y, z)的矢径的模，试证明：。
2、 （RX33）求数量场u=xy2+yz3在点（2，－1，1）处的梯度及在矢量方向的方向导数。
3、 （RX34）设位于坐标原点的点电荷q，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：，其中ε为介质系数，为M点的矢径，。求电位v的梯度。
4、 （BW7）试证明，并证明，若，则必为。
5、 （BW8）若＝，且是矢径的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线积分，并证明，若矢量沿任一封闭曲线L的线积分，则矢量必为某一标量函数的梯度。

第三节 矢量的散度
1、 （RX39）设由矢径构成的矢量场中，有一由圆锥面x2+y2=z2及平面z=H(H>0)所围成的封闭曲面S。试求矢量场从S内穿出S的通量。
2、 （RX41）在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为，其中，为从点电荷q指向M点的矢径，。设S为以点电荷为中心，R为半径的球面求从内穿出S的电通量。
3、 （RX44）若在矢量场内某些点（或区域）上有，而在其他点上都有，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。
4、 （RX44）在点电荷q所产生的电场中，求电位移矢量在任何一点M处的散度。
5、 （RX46）已知，求

第四节 矢量的旋度
1、 （RX51）设有平面矢量场，l为场中的星形线x=Rcos3θ，y=Rsin3θ。求此矢量场沿l正向的环量。
2、 （RX55）求的旋度。
3、 （RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为。由运动学我们知道，刚体上某一点处的线速度为，求此线速度场的旋度。
4、 （BW18）证明rot=0，并证明，若rot＝0，则必为。

第五节 哈密尔顿算子
1、 （RX80）已知u=3xsinyz，求
2、 （RX80）设，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。
3、 （RX80）证明，其中为常矢。

第六节 场论基本运算公式（见P6～7）
1、（BW19）证明场论各基本运算公式。

第二章 张量基本知识
第一节 指标
1、 什么是自由指标和哑指标？
2、 试简述约定求和法则。

第二节 张量及其表示法
1、 试简述二价张量的定义。
2、 什么是零阶张量？它有几个分量？
3、 试写出的实体表示形式。

第三节 几个特殊的张量
1、 试写出单位张量的分量表示形式
2、 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。

第四节 二阶张量的运算
1、 证明
2、 证明当［B］为对称张量时，则
3、 证明
4、 若将反对称张量［B］写成：，证明
5、 证明
6、 证明
7、 证明
8、 证明，其中为的转置张量。
9、 证明

第五节 各向同性张量
1、 什么是各向同性张量？
2、 证明二阶各向同性张量的形式必为，为标量。

第三章 流体力学的基本概念
第一节 流体力学的基本研究方法
1、 试简述流体质点的概念和连续性假设。
2、 试分别简述描述流体流动的两种方法。

第二节 流体微团的运动分析
1、 （LJ50）设初始时刻流体质点的速度与它到某—固定界面的距离x。间的关系为：u=kx0/(x0+1)。k为常数，此后流体质点各自都作等速直线运动。速度方向与该固定截面垂直。
(1)求速度场；
(2)求变形速度张量；
2、 试简述亥姆霍兹速度分解定理。
3、 （QZC31）给定平面流场的极坐标表达式：vr=u(r, θ)，vθ=v(r, θ)，求流动平面上径向和周向的线变形率，以及平面上的角变形率。
4、 （GZ54）设u=cy，v=0，w=0，求其变形张量和旋转张量。

第三节 作用在流体上的表面力
1、 试表述所表达的意义。
2、 试证明应力张量的对称性。
3、 （GZ61）设流体中的应力张量由下式给出，设有一平行于坐标轴的六面体，求（1）六面体六个面上的应力分布；（2）求作用于z=0及x=0面上的合力。
4、 （GZ62）流体内某处的应力张量为，试问作用于平面x+3y+z=1外侧（离开原点的一侧）上的应力矢量是什么？这个平面上的应力向量的法向和切向分量是什么？

第四节 随体导数
1、 （FY24）已知用拉格朗日变数表示的速度场为：
u=(a+1)et-1 v=(b+1)et-1
式中：a,b是t=0时刻流体质点的直角坐标值。
试求：（1）t=2时刻流场中质点的分布规律；
（2）a=1,b=2这个质点的运动规律；
（3）流体质点的加速度场表达式。
（4）欧拉变数下的速度和加速度表达式。
2、 （QP44）已知用欧拉变数表示的速度场为：
u=x+t v=y+t
试求：（1）一般的迹线方程，令t=0时的坐标为a,b。
（2）在t=1时刻过（1，2）点的质点的迹线。
（3）在t=1时刻过（1，2）点的流线。
（4）以拉格朗日变数表示的速度分布。
3、 证明

第五节 广义牛顿内摩擦定律
1、 试简述斯托克斯所提出的三个假设。
2、 试写出张量形式的应力本构方程。

第四章 流体动力学基本方程
第一节 四大基本方程
1、 （FY42）油从一铅垂管向下流到静止的水表面上，油漂浮在水面上形成如图所示的对称图案。假设油与水永远不相混合，即油水之间有明显的分界面，试导出描述油在水面上蔓延开来的连续性方程。
2、 （GZ128）试对柱坐标形式的微六面体建立运动方程。
3、 试推导熵形式的能量方程。

第二节 基本方程组及其定解条件
1、 LX226）证明Φ＞0
2、 互不参混流体的界面边界条件是什么？

第三节 一些特殊形式的方程
1、 什么是正压流体？什么是斜压流体？
2、 试推导。
3、 试写出不可压缩流体的运动微分方程。
4、 （LX139）在理想、不可压缩流体的平面定常流动中，若质量力有势，试证明沿流线涡量Ω保持不变。

第四节 基本方程的求解思路
1、 （QZD59）如图所示的由上下两平行平板所组成的槽道内充满了不可压缩流体的库埃特流动，上平板以速度U相对于下平板运动。设槽道中同时存在x方向的压力梯度dp/dx。流动为二维恒定流动。求该流场的速度分布。
2、 （QZD62）如图所示的二维槽道中的恒定流动，设槽道中同时存在x方向的压力梯度dp/dx。求该流场的速度分布。
3、 （QZD77）如图所示的在两个倾斜的平行平板之间的库埃特流动，下平板固定，上平板在x方向以速度u运动。当只考虑重力作用时，求其速度分布。
4、 试简述大雷诺数流动的边界层方法求解思路。

第五章 正交曲线坐标系中的流体力学运动方程组
第一节 正交曲线坐标
1、 什么是拉梅系数？
2、 （RX87）对于正交曲线坐标系，证明一般曲线的弧微分ds与坐标曲线的弧微分ds1, ds2, ds3之间有关系：。

第二节 柱面坐标和球面坐标
1、 （RX90）证明柱面坐标系和球面坐标系都是正交曲线坐标系。
2、 （RX91）求柱面坐标系和球面坐标系的拉梅系数。
3、 （RX92）求矢量在柱面坐标系中的表达式。

第三节 正交曲线坐标系的基本运算法则
1、 试写出哈密尔顿算子在曲线坐标系中的表达式
2、 试写出和的计算式。

第四节 梯度、散度和旋度表达式。
1、 （GZ368）证明梯度、散度和旋度在曲线坐标系中的表达式。

第五节 常用矢量、张量及方程组在曲线坐标系中的表达式
1、 （GZ370）证明算子Δ及（b·▽）在曲线坐标系中的表达式。
2、 （GZ371）证明速度梯度张量、应变张量和旋转张量在曲线坐标系中的表达式。
3、 （GZ372）证明divP在曲线坐标系中的表达式。
4、 （GZ373）证明流体力学基本方程组在曲线坐标系中的表达式。

第六章 不可压缩理想流体恒定流动的求解
第一节 不可压缩理想流体恒定流动的求解思路
1、 不可压缩理想流体恒定流动的求解总思路是什么？
2、 （QZC38）试证明不可压缩理想流体恒定流动速度场散度和旋度确定速度场的唯一性定理。
3、 （QZC93）若壁面Σ的解析式为F（x,y,z,t）＝0，速度为时，试证明固体壁面得不可穿透条件变为：。
4、 （QZC99）试证明Lamb方程：。
5、 （QZC94）写出流体绕过半径为R的固定圆球表面的边界条件。
6、 （QZC95）写出椭球在流体中沿其长轴方向运动时，椭球面上理想流体运动边界条件。
7、 （QZC99）对于理想、正压流体恒定流动，质量力有势时，试证明沿涡线或流线有：
8、 （FY142）一个半径为R1的固定不动的大球壳中充满着不可压缩流体，有—个半径为R2的小球以速度U(t)在其中运动，试建立t时刻在固壁上所对应的边界条件。

第二节 给定流场散度求速度场的特解
1、 （QZC39）设速度场散度θ(ξ, η, ζ)是δ-函数，即，D0是包含原点的任意域；当时，θ(ξ, η, ζ)＝0。求该速度场散度所产生的速度场。
2、 （QZC45）原静止无界无旋流场中，给定当时，；当r>b或r域中▽Ф解的唯一性条件
5、 试简述无界单连域中▽Ф解的唯一性条件
6、 试简述无界双连通域中▽Ф解的唯一性条件
7、 试证明偶极流的势函数：
8、 试证明三维半体绕流的势函数：
9、 试证明兰金体绕流的势函数：
10、 试证明圆球绕流的势函数：
11、 试证明圆球绕流：

第七章 复变函数基本知识（西交大）
第一节 复数及其运算
详细学习掌握《复变函数习题全解全析. 精品课堂》中有关下列内容的相应例题：
一、复数的概念
二、复数的几何表示
三、复数的乘幂和方根

第二节 复变函数的概念
详细学习掌握《复变函数习题全解全析. 精品课堂》中有关下列内容的相应例题：
一、复变函数
二、映射的概念

第三节 解析函数
详细学习掌握《复变函数习题全解全析. 精品课堂》中有关下列内容的相应例题：
一、 解析函数的概念
二、 函数解析的充要条件
三、 初等函数

第四节 共形映射
详细学习掌握《复变函数习题全解全析. 精品课堂》中有关下列内容的相应例题：
一、 共形映射的概念
二、 分式线性映射
三、 几个初等函数所构成的映射
四、 施瓦兹－克里斯托费尔映射

第八章 不可压缩理想流体恒定平面无旋流动速度场的复变函数求解
第一节 复势函数
1、 试写出复速度的表达式
2、 试证明均匀直线流的基本解为：
3、 试证明源汇流的基本解为：
4、 试证明点涡的基本解为：
5、 试证明涡源的基本解为：

第二节 镜像法
1、 （HM116）设x轴是固壁，在上半平面的点（0，b）处有一个强度为Q的点源。试求壁面上的速度分布式，并指出其最大值时的位置。
2、 （HM133）设有一个半径为a的圆柱体，在点（b，0）有一个强度为Q的点源，在点（-a，0）和点（a，0）各有一个强度为Q/2的点汇，求流动的速度势。（0
3、 （HM158）在一个半径为a的静止圆柱体外有一个龙卷风。有龙卷风所引起的流动可视为半径为a的圆外有一个强度为Γ的点涡的势流。如果点涡到圆心的距离为b（b>a），试求点涡的运动速度以及圆周上的速度分布。

第三节 共形映射法的基本理论
1、 （GZ308）通过ζ=F(z)，把物理平面z上比较复杂的边界映射到辅助平面ζ上比较简单的边界，证明平面ζ上的等势线与流线对应到物理平面上仍为等势线与流线。
2、 （GZ309）通过ζ=F(z)，把物理平面z上比较复杂的边界映射到辅助平面ζ上比较简单的边界，证明平面ζ上的速度环量与流量对应到物理平面上具有相同的速度环量和流量。
3、 （QP229）分别求下两图所示流场的复势，在A3点有流量Q流入域中。

4、 （FY268）求下图所示流场的复势。

5、 （FY269）求矩形渠道入口处流动的复势。

第四节 儒可夫斯基翼型的求解
1、 试简述库塔－儒可夫斯基条件及其原因
2、 证明在平面无旋流动中绕库塔-儒可夫斯基翼型的环量为：Г=-2πaV∞sin(α+β)。
3、 试简述儒科夫斯基升力定理

第九章 边界层的求解
第一节 边界层理论
1、 试写出二维、忽略质量力、不可压缩流体、定常流动的边界层微分方程
2、 试简述边界层的流动特点

第二节 边界层微分方程的相似性解
1、 什么是边界层方程的相似解？
2、 试证明对m为常数的U=Cxm流动，在坐标下具有相似性解。
3、 （HM257）试求势流为点汇流动的边界层相似解。如图所示，点汇位于坐标原点，x轴为壁面，势流速度为U(x)=-A/x。

4、 （LX261）半无限长平板吹气层流边界层，壁面上吹气规律如图所示．已知平板上侧边界层内流动具有相似性解，试用相似变换式建立关于f(η)的方程及边界条件．

第三节 边界层的近似解
1、 （QZC292）试推导卡门动量积分方程
2、 在伯尔豪森法边界层的近似求解中，采用那些边界条件来确定速度分布中的常数？
3、 （HM259）设平面边界层的来流速度为U∞，板面上有连续分布的小孔。通过小孔吸气，使流体以速度v0（＝常数）沿小孔流出，试证明这种吸吮壁面的平板边界层动量积分关系式为：（注：莱布尼兹积分式为）
4、 （HM261）若平板层流边界层的速度分布式为u/U=2η-2η3+η4,试用动量积分关系式计算其边界层厚度及壁面切应力关系式。
5、 （SM506）已知空气以V∞＝15m／s的速度平行流过光滑平板，空气的运动粘性系数ν=1.5×10－5m2／s，试确定：(1)在离平板前缘200mm处的边界层厚度δ，(2)在200mm处的边界层中，速度u达到0.5V∞值时的位置离板面的距离h，(3)在200mm处的边界层中，在离扳面h距离处v速度分量的大小。
6、 （LJ263）在一些工程问题中，为防止边界层分离或考虑物体的受热能力，在物面上开有许多小孔，利用特殊装置，通过小孔吸气或放气，这时物面上流体质点将有法向速度．设某不可压缩流体以常速度U纵向绕此平板流动时，平板表面流体的法向速度为常数。试导出边界层的动量积分关系．如果把速度剖面近似地表示为u/U=y/δ。δ是边界层厚度，试确定δ随x的变化规律。

第十章 紊流的求解
第一节 紊流及其基本方程
1、 层流和紊流的主要区别有哪些？
2、 工程上为什么不能用原已推导的连续性方程和运动方程直接求解紊流流动？

第二节 雷诺应力及相关方程
1、 试说明粘性和雷诺应力的机理相同和不同之处。
2、 试简述紊流的平均动能方程和脉动动能方程中各项的物理意义。
3、 试从雷诺方程出发，推导二维不可压缩流体紊流边界层的运动微分方程。

第三节 紊流模式理论
1、 试写出雷诺应力的一般表达式
2、 什么是Boussinesq零方程模型？它的适用条件是什么？
3、 什么是Prandtl零方程模型？它的适用条件是什么？
4、 试写出一方程模型中涡粘度的表达式
5、 试写出二方程模型中涡粘度的表达式

第四节 边界条件
1、 试简述紊流边界层的分层结构
2、 试写出时均速度的壁面定律
3、 试根据紊流边界层的脉动动能方程，说明影响脉动动能的因素及其能量输运规律。
4、 试推导
5、 试写出紊动能耗散率的边界条件
6、 试简述自由边界的边界条件

第五节 平面、忽略质量力、不可压、定常、自由紊流射流的求解
1、 平面、忽略质量力、不可压、定常、自由紊流射流的基本特点是什么？
2、 试推导
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