概率论与数理统计课程第一章练习题及解答.doc

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）
1、若，则与任一事件一定独立。（√）
2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（√）
3、样本空间是随机现象的数学模型。（√）
4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（×）
5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（×）
6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（√）
7、若为试验的样本空间，为的一组两两互不相容的事件，则称为样本空间的一个划分。（×）
8、若事件的发生对事件的发生的概率没有影响，即，称事件、独立。（√）
9、若事件相互独立，则其中任意个事件也是相互独立的。（√）
10、若事件相互独立，则将中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的个事件仍相互独立。（√）
二、单选题
1．设事件A和B相互独立，则（ C ）
A、　　　B、　　C、　　D、
2、设事件A与B相互独立，且，则正确的是（ A ）
A、与一定不独立 B、与一定不独立
C、与一定独立 D、与一定独立
3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（ B ）
A、 B、
C、 D、
4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（ ）
A、 B、 C、 D、
分析 事件表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度；事件表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度，即，选C。
5、对于任意二事件A和B，与不等价的是（ ）
A、 B、 C、 D、
分析 ，而，因不一定成立，选D。
6、对于任意二事件A和B，
A、若，则A，B一定独立 B、若，则A，B有可能独立
C、若，则A，B一定独立 D、若则A，B一定不独立
分析 若中至少有一个等于0时，则A不成立；若均大于0时，则C不成立；若，但，且时，则A与B独立，D不成立，因此应选B。即当时，如果，则A与B独立，否则A与B不独立。
7、对于事件A和B，满足的充分条件是（ ）
A、A是必然事件 B、 C、 D、
分析 的充分条件是，即，显然在四个选项中，当时，，可得，因此是的充分条件。选D
8、已知且，则下列选项成立的是
A、 B、
C、 D、
分析 依题意 ，
因为，故有。选B
9、设A、B为任意两个事件，且，则下列选项必然成立的是
A、 B、 C、 D、
分析 因为，故，又，于是有
，选B
10、设A、B是两个随机事件，且，则必有（ ）
A、 B、
C、 D、
分析 应用条件概率定义从可得，
即，选C

三、填空题
1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空间S为（ ）
2、生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S为（ ）
3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间S为（）
4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间S为（ 取一直角坐标系，则样本空间为 ；若取极坐标系，则样本空间为 。 ）
5、设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生，（或者 ）
（2）A 与B 都发生，而C 不发生，（或者）
（3）A，B，C 中至少有一个发生，（ ）
（4）A，B，C 都发生，（）
（5）A，B，C 都不发生，（）
（6）A，B，C 中不多于一个发生，（或者或者）
（7）A，B，C 中不多于两个发生，
（或者）
（8）A，B，C 中至少有两个发生，（或者）。
6、设A，B是任意两个随机事件，则（0
分析

7、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（ ）
分析 此为一全概率问题，设事件 ，
由题有 ，，
于是
8、设A，B两个事件满足，且，则（ ）
分析
因为，故有，
9、设两两相互独立的三事件A，B和C，满足条件：，且已知，则（ ）
分析 由于A、B、C两两相互独立，且，
所以 ，，
，
依题意，有 ， 解方程，得。 （不合题意舍去）
10、设两个相互独立的事件A和B 都不发生的概率为，A发生B 不发生的概率与B发生 A不发生的概率相等，则（ ）
分析 依题意，，故 ，
即，又因A与B相互独立，故与亦相互独立，
。

四、计算题
1、（1）设A，B，C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/8，求A，B，C 至少有一个发生的概率。
(2)已知P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/5，P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30,求，，，，，的概率。
（3）已知P(A)=1/2，(i)若A，B互不相容，求，（ii）若P(AB)=1/8求。
解：（1）
（2）；
；

。
（3）（i）
（ii）

2、在房间里有10 个人，分别佩戴从1 号到10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。求
（1）最小号码为5 的概率；
（2）最大号码为5 的概率。

解：古典概型
（1）设A=“最小号码为5” ，则 ；
（2）设B=“最大号码为5” ，则。
3、在1 500 个产品中有400 个次品，1 100 个正品。从中任取200 个。求
（1）恰有90 个次品的概率；
（2）至少有2 个次品的概率。

解：古典概型
设A=“恰有90个次品”；Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，C=“至少有2个次品”。
（1）设A=“恰有90个次品” ， 则；
（2）设C=“至少有2个次品”，求
又设Bi=“恰有i个次品”，i=0,1，则，
于是，
这里，，
因此。

4、从5 双不同的鞋子中任取4 只，问这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

解：古典概型
设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，
则 。
另解：古典概型
设A=“所取4只鞋子至少有2只配成一双”，Ai=“所取4只鞋子恰能配成i双”，i=1,2，则

5、张卡片上分别写上Probability 这11 个字母，从中任意连抽7 张，求其排列结果为ability 的概率。
解：古典概型，设A=“排列结果为ability”，则。
6、（1）已知。求条件概率 。
(2)已知，求
解：（1）
；
（2）

7、 （1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
（2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

解：（1）设A从甲袋取得红球”，B=“从乙袋取得白球”，则

（2）设Ai=“从第一盒取得的球中有i只红球”，i=0,1,2，
B=“从第二盒取得一白球”，则
因为，，，
所以。

8、 将两编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误作为B的概率是0.02，而B被误作为A的概率是0.01 。信息A与信息B被传出的频繁程度为2:1.若接收的信息是A，问原发信息的是A的概率是多少?

解：设D=“将信息A传出去”，R=“接收到信息A”，题目要求，由题知，，，
因为，所以，，因此，

9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4 。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设Ai=“第i人能译出密码”，i=1,2,3，B=“译出密码”，
由题知，，，则

10、将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设A1=“输入AAAA”， B1=“输入BBBB”， C1=“输入CCCC”，D=“输入ABCA”，
因为 ，因此
，
由于，，
所以。

五、证明题
1、设A，B是两个事件。
（i）已知，证明A=B；
(ii)证明事件A与事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。
证明：（1）因为，，
所以有，；
（2） 显然，

2、设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明是事件A与B独立的充分必要条件。
证明1：由于事件A的概率不等于0和1，题中两个条件概率都存在。
必要性、由事件A与B独立，知事件与B也独立，
因此 ，从而。
充分性、由，可见
，，
因此A与B独立。
证明2：由于事件A的概率不等于0和1，题中两个条件概率都存在。

因此A与B独立。
3、设A、B、C三个事件两两独立，证明A、B、C相互独立的充分必要条件是A与BC独立。
证明：A、B、C相互独立的充分必要条件是A、B、C两两独立且
必要性、由A与BC独立，因为A、B、C两两独立，有B与C独立，故，因此A、B、C相互独立。
充分性、由A、B、C相互独立，有和，从而有，即A与BC独立。