二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版).doc

二项式定理
知识要点
（一）探究的展开式
问题1：展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
问题2：将上式中，若令,则展开式又是什么？

思考一：合并同类项后，为什么的系数是3？

问题3：的展开式又是什么呢？

结论：；

（二）猜想、证明“二项式定理”
问题4：的展开式又是什么呢？

思考二：
（1） 将展开有多少项？
（2）每一项中，字母的指数有什么特点？
（3）字母指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定的系数？

二项式定理：
；

（三）归纳小结：二项式定理的公式特征
（1）项数：_______；
（2）次数：字母按降幂排列，次数由____递减到_____；字母按升幂排列，次数由____递增到______；
（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；
（4）通项：__________；指的是第项，该项的二项式系数为______；
（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做的二项展开式。

典型例题
例1、求的展开式；

例2、①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求的展开式中含的系数。

变式练习
1、写出的展开式；

2、求的展开式的第3项；

3.写出的展开式的第项；

4、的展开式的第6项的系数是 ；

例3、求的展开式中的系数。

例4、在的展开式中，求的系数

例5、求展开式中的系数

例6、，则＝（ ）
A．9 B．10 C．－9 D．－10

例7、已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项

高考真题
1、的展开式中，常数项为，则（ ）
A． B． C． D．
2、 的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

3、若的二项展开式中的系数为，则　 　（用数字作答）．

随堂练习
1、的展开式中常数项是 。
2、已知的展开式中常数项是，则展开式中的系数是（ ）
A. B. C. D.
3、在的展开式中，的系数是 .（写出数字答案）
4、的展开式中项的系数是 .
5、 的展开式中所有有理项系数之和等于_________。（用数字作答）
6、在 的展开式中 项的系数是 （ ）
（A） （B） （C）30 （D）60

课后作业
1、在的展开式中，的系数为 ；
2、展开式中的系数是 ；
3、 的展开式中常数项为 ；
4、 的展开式中，含项的系数是 ；
5、 若的展开式中前的系数是9900，求实数的值。
6、的展开式中，的系数与的系数之和等于 。
7、求的展开式中的系数。

8、已知二项式，(以下各题答案均用组合数表示)；
（1）求展开式的第4项的二项式系数；
（2）求展开式的第4项的系数；
（3）求展开式的第4项。

9、求二项式的展开式中的常数项。

杨辉三角二项式系数的性质
知识要点
1、二项式系数表（杨辉三角）
填表找规律（使用课本表格）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2、二项式系数的性质
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
（因为）．直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值
∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和
∵，
令，则

典型例题
例1、在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

注：由性质（3）及例1知；

例2、设，
当时，求的值

例3、已知，求：
（1）； （2） ； （3）；

例4、在的展开式中,求:
①二项式系数的和；
②各项系数的和；
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
④奇数项系数和与偶数项系数和；
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和；

例5、已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．求展开式中二项式系数最大的项；

例6、已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中，求二项式系数最大的项。

例7、（1）的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第六项 B．第三项 C．第三项和第六项 D．第五项和第七项
（2）的展开式中系数最小的项为（ ）
A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项

随堂练习
1、展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2、多项式（）的展开式中，的系数为
3、若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A、4 B、5 C、6 D、8
4、在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）
A.0 B. C. D.
5、求的展开式中二项式系数最大的项

课后作业
1、若的展开式的各项系数之和为32，则n＝ 。其展开式中常数项为 。（用数字作答）

2、已知，则的值为 。

3、已知，则= ；

4、若对于任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．

5、已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　　）
A、 B、 C、 D、

6、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、120

7、已知展开式中的二项式系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的二项式系数最大的项的系数为，求的值

8、设，试求的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

9、设
求：① ②．