苏科版八年级下册平行四边形复习.doc

教师辅导讲义
授课时间

年 级
八
课 时 数
3
学员姓名

辅导科目
数学
学 科 教 师

课 题
平行四边形
教学目标
1、 掌握平行四边形的性质并灵活应用 2、掌握平行四边形的判定方法
一、课前检测：1.已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）
（A）6种 （B）5种 （C）4种 （D）3种
2.如图，在□ABCD 中，E、F是 AC 上的两点．且AE=CF ．求证：ED∥BF ．

3.平行四边形ABCD中, ∠BAD与∠BCD的平分线分别与BD交于点N、M.求证:AM//CN
4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，那么BE=CF，请你说明理由.
5.如图，已知：平行四边形ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：．
6.如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE．已知∠BAC=300，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

7、 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
三、 知识点梳理 1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边 形ABCD”．
2、平行四边形性质：（1）平行四边形的两组对边分别平行。 （2）平行四边形的两组对边分别相等。
（夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的垂线段相等。）
（3）平行四边形的对角相等。邻角互补。 （4）平行四边形的对角线互相平分。
（5）若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积（用三角形全等证明）。
（6）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。
3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．
4、平行四边形的周长、面积： 周长： C=2（AB+BC） 面积：(1)S=底×高=ah如图①，．

(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC且高相等，则．
A
B
C
D
P
平行四边形面积----特殊的情况 (1)
C
A
B
D
P

A
B
C
D
O

（2） （3）
5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6、平行四边形知识的运用： (1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等． (2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． (3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
例如：将一平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，这条折痕必通过
练习：将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有 ( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
四、 例题解析 类型1 平行四边形的性质应用----求边长、对角线长
例1 如图，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

练习：如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 .
例2 如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
练习：已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( )
A． 10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与40
例3、请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）

类型2 平行四边形的性质的应用----求周长
例4．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC与F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是 ( )A．16 B．14 C．12 D．10
E
C

O
D
B
A
F
A
B
C
D

练习：如图所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长．

例5、如图，在□ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是 ．
练习1、如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为
A．6 B．9 C．12 D．15
2、如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（ ）A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
类型3 平行四边形的性质应用-------求角度
C

D
A
B

例6 已知: 如图平行四边形 ABCD中,AE、AF分别是CD、BC边上的高, ∠EAF＝135°,求∠C.

练习：1、如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CEBD于E，则 ．
2、在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AB：BC=1：2，则AMD= ．
例7、如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，现要截取一个直角三角形，使BC为斜边，且直角顶点E在AD上，

则E为AD的 ．
练习：与如图放置，点D,G分别在边AB,AAC上，点E,F在边BC上．已知BE-DE，CF=FG，则的度数等于（ ）度
A．80 B．90 C．100 D．条件不足，无法判断
例8如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90度后与重合
B．以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270度后与重合
C．沿所在直线折叠后，与重合
D．沿AD所在直线折叠后，与重合
练习：（2010重庆綦江县）如图，在中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC ②∠CDF＝∠EAF ③△ECF是等边三角形 ④CG⊥AE
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
类型4 平行四边形的面积问题
例9 平行四边形的面积为144㎝2 ，若相邻两边上的高分别为8cm和12cm，则这两个邻边的长分别是_______和______，平行四边形的周长是_______．

练习：1、如图，平行四边形ABCD的相邻边AD：AB=5：4，过点A作AEBC，AFCD，垂足分别为E、F，AE=4，求AF的长．

2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

例10 右图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（ ）
Ａ．这两个四边形面积和周长都不相同 Ｂ．这两个四边形面积和周长都相同
Ｃ．这两个四边形有相同的面积，但I的周长大于Ⅱ的周长
Ｄ．这两个四边形有相同的面积，但I的周长小于Ⅱ的周长
G
C

O
D
B
A
E
H
F

N
B
C
A
D
M
练习：1、如图,在△ABC中，∠A=90°，D、E、F分别为AC、BC、AB的中点，若BC=13，AB=5，则△FBE与△DEC的面积和为 .

练习：1、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点O在BD上，则图中面积相等的平行四边形有 ( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2、如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为( )
A.1 B. C.2 D.
3、如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN∥BD，则AND的面积ABM的面积怎样？请说明理由．

类型5 平行四边形的判定与证明 ★1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形
例1 如图，等腰△ABC中，AB=AC, D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，你可以做出来吗？试试看）

练习1：如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看）

练习2 如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

练习3：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
例2 如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BLDN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.

练习1．（2009•来宾）在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

练习2．（2010•恩施州）如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．

练习3（2002•三明）如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．

★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
例3 如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，试证明AECF为平行四边形.

练习1： 已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中， 点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．
求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

练习2：（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

练习3：（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形 例4(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.

★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
例5．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

练习1．（2011•昭通）如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

练习2。 如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．

五、 课堂检测
1.如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF

2、平行四边形一组对角的平分线（ ）
A．在同一条直线上． B．平行 C．相交 D．平行或在同一直线上
3.如图，在□ABCD中，CE是 ∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，EF、FB为多少？

4、平行四边形ABCD一个内角平分线把一条边分成和两段，则平行四边形ABCD的周长为 ．
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC的延长线于点E，交CD于点F，AB=5，BC=2，求CF的长。

6.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且。 求证： AE=CF.

7.如图，在中，点分别是边的中点，若把绕着点顺时针旋转得到．
（1）请指出图中哪些线段与线段相等；（2）试判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．

8、ΔABC中, ∠BAC＝90°, AD为BC边上的高, ∠1=∠2, EF//BC, 求证:AE=FC

六、 课后作业
1、过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 .
边的转移2、如图：四边形ABCD 的周长为16cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,求 三角形DCE的周长

3、如图,在中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20
4、如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求EOF的度数．

5、如图，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：EG和HF互相平分。

6、在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点．若点在边上（如图1），此时，可得结论：．
图1

图2

图3

请直接应用上述信息解决下列问题：当点分别在内（如图2），外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

趣味题 1、现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．

2、图1是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，BC=DA，BC∥DF，FD//BC．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B－D－A－E，路线2是B－C－F－E，请比较两条路线路程的长短，并说明理由.

4.如图，ABCD是老王家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.
A
B
C
D
P

综合提高1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

2、已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8． （1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积； （3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=90°，AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，的代数式表示）．

3.（平行四边形）直线y=-x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

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