教学案特殊平行四边形.习题集(2014-2015).doc

特殊平行四边形

真题链接

【例1】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为．写出一个函数使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为__________．

（2014北京中考）
【答案】，答案不唯一
【解析】依题可知，，使它的图象与正方形有公共点，即可．
故答案为：，答案不唯一．
【例2】 如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值．

（2014北京中考）
【答案】（1）证明：∵是平行四边形
∴，，
∴，．
∵平分，平分；
∴，；
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为菱形．

（2）解：作，
∵，；
∴为等边三角形；
∴，；
∵四边形为菱形；
∴点为中点；
∴；
可知：，．
∵；
∴；
∴．
【例3】 在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．
（1）依题意补全图；
（2）若，求的度数；
（3）如图，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

（2014北京中考）
【答案】（1）补全图形如图所示：

（2）连接，
依题可知，，，
．
∴．

（3）连接、、．
由对称性可知：，，
、、都是等腰三角形．
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴都是等腰直角三角形，
∴．
在中，
．
∴．
【例4】 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为__________．

（2013北京中考）
【答案】20
【例5】 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积．

小明发现：分别延长，交的延长线于点，可得是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形的面积．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边各边上分别截取，再分别过点作的垂线，得到等边，若，则的长为__________．

（2013北京中考）
【答案】（1）；
（2）由（1）知，由拼成的新正方形的面积与正方形的面积相等．
∴这四个全等的等腰直角三角形的面积之和与正方形的面积相等．
∵，
∴正方形的面积
（3）．

课堂练习

一、矩形的定义和性质
【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
【答案】A
【例2】 矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件__________时，四边形是矩形
【答案】
【例3】 已知如图，四边形中，，分别是的中点，如
果则=_________．

【答案】5
【例4】 如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，
则_________

【答案】
【例5】 矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则BC＝______cm，周长为_______．
【答案】，
【例6】 如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：≌.

【答案】∵四边形是矩形
∴.
在和中，
又∵，
∴≌.
【例7】 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的对角线的长是（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】∵，，∴为等边三角形，
∴
【例8】 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

【答案】
【解析】设根据，利用勾股定理列方程
【例9】 如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知
，且，求的长．

【答案】
【解析】因为，且矩形中，所以，因为，所以
，是等边三角形，即，由条件易得是的中位线，
，所以
【例10】 在下面所给的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形．
⑴请你在图①中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；
⑵请你在图②中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．

【答案】⑴如图,画法不唯一；⑵如图②过两个平行四边形的对称中心

二、矩形的判定
【例11】 如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．

【答案】∵，∴∥
在和中
∴≌ ()
∵，∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是矩形
【例12】 如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．

【答案】∵、、、分别是四边的中点
∴、为中位线
∴且
∴四边形为平行四边形
∵，∴
∴四边形是矩形．
【例13】 如图，平行四边形中，、、、分别是、、、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形．

【答案】∵四边形为平行四边形
∴，
∵、分别是、的平分线
∴
∴
同理
∴四边形是矩形．
【例14】 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【答案】⑴ ∵，
是的中点，∴
∵ ∴
∴，∵
∴
（2）四边形是矩形
∵，是的中点利用全等）
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
又
∴四边形是矩形．
【例15】 已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．

【答案】∵，∴
又∵，，∴，∴∥
又∵∥，∴是平行四边形，∴
∵，，∴
∴，∴四边形是平行四边形
又∵，∴平行四边形为矩形
本题也可先说明，再说明四边形是平行四边形
【例16】 已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：

【答案】过点作垂直，分别交、于、两点．
∵

又∵
∴
∴
【例17】 如图所示，在矩形和矩形中，若，求证：．

【答案】∵，，∴
∵，
∴≌，
∵，，∴是平行四边形
又∵，∴是菱形
连接，则，，∴
从而证得≌，∴，
∴，∴∥，，∴

三、菱形的定义和性质
【例18】 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于___________．

【答案】
【例19】 如图，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【解析】提示：斜边上中线

【例20】 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．
【答案】或
【例21】 如图，菱形中，，于点，且DF=DC连接，则的度数为_________度．

（2014西城一模）
【答案】15

四、正方形的定义和性质
【例22】 如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，，，求的度数.

【答案】∵，，，
∴≌
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
【例23】 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．

【答案】延长，交于点
可证及
可得
∴
∵
∴
∴
又∵
∴

【例24】 如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则 的面积为_____________

【答案】
【解析】过作交延长线于，

五、菱形和正方形的判定
【例25】 如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
⑴ 求证：四边形是菱形；
⑵ 若，求证：四边形是正方形．

【答案】⑴ ∵四边形是平行四边形，∴．
又∵是等边三角形，∴，即．
∴平行四边形是菱形．
⑵ ∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∵，∴．∴．
四边形是菱形，∴
∴四边形是正方形．
【例26】 如图所示，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接．
⑴求证：四边形是菱形；
⑵连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？

【答案】⑴ 是由绕点旋转得到
∴，
∴是等边三角形
∴
又∵是由沿所在
直线翻转得到
∴，
∴
∴点、、三点共线
∴是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形．
⑵ 四边形是矩形．
由⑴可知：是等边三角形，于
∴，又∵
∴，
∴，∴
∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
【例27】 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证AM=DF+ME.

（2012重庆）

【答案】（1）解：∵四边形是菱形
∴，.
∵，∴， ∴.
又∵，，∴，
∴.
（2）证明：延长和相交于点.
∵为的中点，∴.
∵，，∴
又∵，，
∴≌， ∴.
∵四边形是菱形，
∵，∴.
又∵，，
∴≌， ∴.
∵，， ∴， ∴.
∵，，，
∴.

【例28】 已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE.

（2013大兴一模）

【答案】过A作AG⊥BE于G，连结BD交AC于点O，
∴AGBO是正方形.
∴AG=AO=AC =AE
∴∠AEG=30°.
∵BE∥AC，
∴∠CAE =∠AEG =30º.
∴∠BAE=45º–30º =15º.
∴∠CAE = 2∠BAE.

【例29】 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）求证：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求的值．

（2013东城一模）

【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠CED =∠ADE.
又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.
∴∠DAG =∠ADE.
∴∠CED =∠DAG.
（2）∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，
∴∠AED=∠AGE.
∴AE=AG.
∵AG=4，
∴AE=4.
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=.
∴.
【例30】 如图，在中，，平分，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若是边长为的等边三角形，，相交于点，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积．

（2014西城一模）
【答案】解：（1）∵且，
∴四边形的平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴，
∴四边形为矩形。
（2）∵为等边三角形且边长为4，
∴，，
∴，，，
又∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
过作于，
∴，
∴．

六、面积与折叠问题
【例31】 已知：四边形的面积为．如图，取四边形各边中点，则图中阴影部分的面积为_________；如图2，取四边形各边三等分点，则图中阴影部分的面积为_________；取四边形各边的（为大于的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为_________．

（2014昌平一模）
【答案】，，
【例32】 如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点落在点处，点落在点处，直线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积与的面积比为，且，求线段的长．

（2014东城一模）
【答案】（1）证明：由折叠的性质可得：．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴．
∴．

（2）解：过点作于点，则四边形是矩形．
∴，．
∵的面积与的面积比为，
∴．
∴．
设，则，，
∴，
在中，，
∴．
∴．
在中，
【例33】 如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为________．
（2013昌平一模）
【答案】①AEPH 和PGCF 或ABGH 和EBCF 或AEFD和HGCD；②1.③24．
【例34】 阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置，已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于
点，与边（含端点）或其延长线交于点，求点的坐标．
小明在解决这个问题时发现：要求点的坐标，只要求出线段的长即可．连接，
设折痕所在直线对应的函数表达式为，于是有，
所以在中，得到，在中，利用等角的三角函数值相等，
就可以求出线段的长（如图）．

（1）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标；
（2）在图中，已知点落在边上的点处，请画出折痕所在的直线（要求：尺规作图）
图，保留作图痕迹，不写作法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；
（4）将矩形沿直线折叠，点在边上（含端点），直接写出的取值范围．
（2014西城一模）
【答案】（1）

（2）图略(作中垂线即可)．
（3）如图，过点作于，

∵解析式为，
∴坐标为，∴，
∴坐标为，
∴．
∵，
∴，．
∵点在上，且，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴点坐标为．
（4）．
【例35】 以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：
五个边长为的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．

小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为，可得，．由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
五个边长为的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为．
具体要求如下：
（1）设拼接后的矩形的长为，宽为，则的长度为________．
（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；
（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．

（2014朝阳一模）
【答案】（1），，，；
（2）如图所示：

（3）如图所示：

【例36】 如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④

【答案】C

课后作业

【练1】 如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形．

【答案】∵四边形是平行四边形，∴，
∵是的中点，∴
在和中
∴≌()，∴
∴，∴四边形是矩形
【练2】 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点
（1）求证：
（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由。

【答案】⑴证明：
⑵当为的中点时，四边形为矩形
【练3】 若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为___________．

【答案】（如图1）或（如图2）．
【练4】 如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由．

【答案】连接，交于．
∵四边形为正方形，∴，，
∵，∴
∴四边形为平行四边形
∵，∴四边形为菱形

【练5】 如图，在四边形中，对角线交于点，．求的长和四边形的面积．
（2012北京中考）

【答案】过点作于点．
在中，
．
在中，，
．
．
在中，，

四边形的面积是．

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