平行四边形的存在性问题解题策略.doc

04平行四边形的存在性问题解题策略
1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、

解之，得
∴所求抛物线的表达式为
（2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，
又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时，将
合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。
而当x=4时，
此时
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3，
而当x=2时，y=-1，此时P3（2，-1）
综上，满足条件的点
1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线交轴于点，点,交轴于点．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线过点F且与轴平行．直线过点C，交轴于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；
（3）在直线上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形，求点N的坐标．

图① 备用图
【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式
∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．
∴所求函数表达式，即．
（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点，点，
∴点C的坐标是．
将点C的坐标是代入，得．
∴直线CD的函数表达式为．
设K点的坐标为，则H点的坐标为，G点的坐标为．
∵点K为线段AB上一动点，
∴．
∴．
∵，
∴当时，线段HG长度有最大值．
（3）∵点F是线段BC的中点，点，点 ，
∴点F的坐标为．
∵直线过点F且与轴平行，
∴直线的函数表达式为．
∵点M在直线上，点N在抛物线上 ，
∴设点M的坐标为，点N的坐标为．
∵点，点 ，∴．
分情况讨论：
① 若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8．
当点N在点M的左侧时，．
∴，解得．
∴N点的坐标为．
当点N在点M的右侧时，．
∴，解得．
∴N点的坐标为．
②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为．过点P作NP⊥轴，交抛物线于点N．
将代入，得．
过点NB作直线NB交直线于点M．
在△BPN和△BFM中，
∵
∴△BPN≌△BFM．
∴NB＝MB．
∴四边形点ANCM为平行四边形．
∴坐标为的点N符合条件．
∴当点N的坐标为，，时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．
2、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．

*26．解：（1）抛物线经过点，
1分
二次函数的解析式为： 3分
（2）为抛物线的顶点过作于，则，
4分
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H

当时，四边形是平行四边形
5分
当时，四边形是直角梯形
过作于，则
（如果没求出可由求）
6分
当时，四边形是等腰梯形

综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分
（3）由（2）及已知，是等边三角形
则
过作于，则 8分

= 9分
当时，的面积最小值为 10分
此时
11分
3.（2009年内蒙古包头）已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
y
x
O
B
A
D
C
(x=m)
(F2)F1
E1 (E2)
y
x
O

26．（12分）
解：（1）根据题意，得
解得．
． （2分）
（2）当时，
得或，
∵，
当时，得，
∴，
∵点在第四象限，∴． （4分）
当时，得，∴，
∵点在第四象限，∴． （6分）
（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则
，点的横坐标为，
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴． （9分）
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴，∴（舍去），，
∴，
∴． （12分）
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
4、（2009柳州）O
x
y
A
B
C
D
图11
如图11，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，
且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
解：（1）对称轴是直线：，
点A的坐标是（3，0）． 2分
（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）
（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，
解法一：利用
∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、
C（0，），
∴AO＝3，MD=1．
由得
∴ 3分
又∵ 4分
∴由 得 5分
∴函数解析式为： 6分
解法二：利用以AD为直径的圆经过点C
∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，），
∴，，
∵
∴…① 3分
又∵…② 4分
由①、②得 5分
∴函数解析式为： 6分
（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时
y
x
O
A
B
C
D
图11
E
F
则∥，并且＝．
∵=4，∴=4
由于对称为，
∴点F的横坐标为5． 7分
将代入得，
∴F（5，12）． 8分
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）． 9分
当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，
此时点F的坐标为（1，）． 10分
综上所述，点F的坐标为（5，12）， （，12）或（1，）．
（其它解法参照给分）

5、(2009烟台市) 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；
（4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
O
B
x
y
A
M
C
1