不等式常见题型分析.doc

不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：
(3)加法法则：；(同向可加)
(4)乘法法则：；　　　　
(同向同正可乘)
(5)倒数法则：　　(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1. 对于实数中，给出下列命题：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥；
⑦； ⑧，则。
其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2. 设，，，试比较的大小

3. 比较1+与的大小

4. 若，则的大小关系是 .

（二） 解不等式
题型三：解不等式
5. 解不等式

6. 解不等式。

7. 解不等式

8. 不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______

9. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为

10. 解关于x的不等式

题型四：恒成立问题
11. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

12. 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.

13. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

（三）基本不等式
题型五：求最值
14. （直接用）求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋

15. （配凑项与系数）
（1）已知，求函数的最大值。

（2）当时，求的最大值。

16. （耐克函数型）求的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
17. （用耐克函数单调性）求函数的值域。

18. （条件不等式）
（1） 若实数满足，则的最小值是 .

（2） 已知，且，求的最小值。

（3） 已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式
19. 已知为两两不相等的实数，求证：

20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

21. 已知a、b、c，且。求证：

题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23. 满足不等式组，求目标函数的最大值

24. 已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是

25. 已知满足约束条件： ,则的最小值是

26. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。

27. 已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）

题型九：实际问题
28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

第7面