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抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程

焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标

准 线方 程

范 围

对 称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
顶 点坐 标
（0,0）
离心率

通 径
2p
焦半径

焦点弦长

焦点弦长的补充

以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，
若的倾斜角为，则

3．抛物线的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项符号决定开口方向．
(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．
(4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，,,则．
弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点
(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。
(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。
(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：,是抛物线上两点，则

6.直线与抛物线的位置关系
　　直线，抛物线，
　　，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线： 抛物线，
①　 联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦AB的弦长

或
b. 中点, ，
②　 点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【经典例题】
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
相交 相切 相离 位置由P确定
【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是
.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，
且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
中位线，.故以
PF为直径的圆与y轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：
（1） （2）
【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作
，
.两式相加即得：

（2）当AB⊥x轴时，有
成立；
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：
.化简得：
∵方程（1）之二根为x1，x2，∴.

.
故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）
【证明】对方程两边取导数：
.由点斜式方程：
y0y=p（x+x0）
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.
2.抛物线的通径长为2p；
3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：
以下再举一例
【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为，
那么：
设抛物线的准线交x轴于C，那么
.
这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.
【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线
y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3 D.4
【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段
AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由
设方程（1）之两根为x1，x2，则.
设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.
从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：
，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则
且∠KFM=60°，∴.选C.
【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的
面积用公式计算.
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.
【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（
A． B． C． D．
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半
焦距c，离心率为e，作 ，令
.∵点M在抛物线上，
，
这就是说：的实质是离心率e.
其次，与离心率e有什么关系？注意到：
.
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选 A..
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.
（Ⅱ）直线AB：
代入（1），整理得：
设方程（2）之二根为y1，y2，则.
设AB中点为
AB的垂直平分线方程是：.
令y=0，则
故
于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.
【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且
.
设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：
AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
【解析】∵
设OA上第k个分点为
第k个三角形的面积为：
.
故这些三角形的面积之和的极限

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