特殊平行四边形知识归纳和题型精讲.doc

等；
·是菱形，且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
一. 矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；
矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)
矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．
   如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

例4、如图，在  ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
(1)求证：AB=CF；
(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．  

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1  菱形的四条边都相等；
性质2  菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　　求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．

     例3、如图，在   ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，
若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

    例5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1)求线段的长．

例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、（2008山东烟台）
如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
            正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
• 注意：1、正方形概念的三个要点：
• （1）是平行四边形；
• （2）有一个角是直角；
• （3）有一组邻边相等．
            2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
 A
B
C
P
D

E

例4．（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB，试判断△ADE的形状，并给出证明．

例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

例题讲解
例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例二分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
   证明：∵  四边形ABCD是矩形，
∴  ∠B=90°，且AD∥BC．   ∴  ∠1=∠2．
∵  DF⊥AE，   ∴  ∠AFD=90°．
∴  ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴  △ABE≌△DFA（AAS）．
∴  AF=BE．
∴  EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

菱形 例1 证明：∵　四边形ABCD是菱形，
∴　 CB=CD， CA平分∠BCD．
∴　 ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴   △BCE≌△COB（SAS）．
∴　 ∠CBE=∠CDE．
∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴　∠AFD=∠CBE．
例2 证明：∵　 四边形ABCD是平行四边形，
∴　 AE∥FC．
∴　 ∠1=∠2．
又　 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴　 △AOE≌△COF．
∴　 EO=FO．
∴　 四边形AFCE是平行四边形．
又　 EF⊥AC，
∴　 AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

例6、解：DE＝DF
证明如下：
连结BD
∵四边形ABCD是菱形
∴∠CBD＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角)
∵DF⊥BC，DE⊥AB
∴DF＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

例7 、

正方形 例1    分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
   证明：∵  四边形ABCD是正方形，
∴   ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又   DG⊥AE， ∴  ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴   ∠EAO=∠FDO．
∴   △AEO ≌△DFO．
∴   OE=OF．

例2  分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1，
∴   PN∥QM，∠PNM=90°．
∵　 PQ∥NM，
∴　 四边形PQMN是矩形．
∵   四边形ABCD是正方形
∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴　 ∠1+∠2=90°．
又　 ∠3+∠2=90°，  ∴　 ∠1=∠3．
∴   △ABM≌△DAN．
∴   AM=DN．  同理  AN=DP．
∴   AM+AN=DN+DP
即   MN=PN．
∴　 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

例3  （1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.      
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.    
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.          
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.                          
A
B
C
D

P

E

1

2

H

     ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD.                         ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
A
B
C
P
D

E
F
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=x，AC=，
∴ PC=- x，PF=FC=.
  BF=FE=1-FC=1-()=.
∴ S△PBE=BF·PF=().  
即    (0＜x＜).
② .  
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.      
（1）证法二：A
B
C
P
D

E
F
G

1
2
3
① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
       ∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
     又∵ PB=PE，
       ∴ BF=FE，
       ∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.        
∴ PE=PD.                          
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
∴ PE⊥PD.                          
（2）①∵ AP=x，
       ∴ BF=PG=，PF=1-.      
∴ S△PBE=BF·PF=().
即    (0＜x＜).  
② .
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.        
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

例4     【解析】△ADE是等边三角形．
   理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，
   ∵∠B=∠C．
   ∴E为BC的中点，
   ∵BE=CE．
   在△ABE和△DCE中，
   ∵
   ∴△ABE≌△DCE．
   ∵AE=DE．
   ∴AD∥BC，DE∥AB，
   ∴四边形ABCD为平行四边形．
   ∴AB=DE
   ∵AB=AD，
   ∴AD=AE=DE．
   ∴△ADE为等边三角形．

例5：（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC
  ∵DB平分∠ADC   ∴∠ADC＝2∠BDC
 又∵∠C＝2∠E
∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形                  
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴DC＝2BC＝10

完