1、本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,柱面坐标系,球面坐标系,重积分计算基本方法,累次积分法,第1页,1,第六节,一、平面图形面积及立体体积,二、曲面面积,三、物体重心,四、物体转动惯量,五、物体引力,重积分应用,第2页,2,解：,所求立体体积为,第3页,3,解：,另解：,1.能用重积分处理实际问题特点,所求量是,对区域含有,可加性.,分布在,有界闭域,上整体量.,2.用重积分处理问题,方法,-元素法,问题：满足什么条件量可用重积分处理？,第4页,4,元素法步骤：,把定积分元素法推广到二重积分应用中.,元素法也可推广到三重积分上,第5页,5,设曲面
2、S,方程为,曲面,S,在,xoy,面上投影为区,域,D,，,如图，,设小区域,点,(,x,y,),为,S,上过点,M,(,x,y,z,)切平面，,以,边,界为准线，,母线平行于,z,轴,小柱面，,截曲面,S,为,截,切平面,为,则有,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面面积,d,A,无限积累而成.,第6页,6,-,曲面,S,面积元素,因为,为,在,xoy,面上,投影，,则有,第7页,7,a,b,第8页,8,设曲面方程为：,曲面面积公式为：,设曲面方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,曲面面积公式为：,即 设曲面方程为：,第9页,9,x,z,y,解：,x,o,y,例1.,求球面,，含在圆柱
3、体,内部那部分面积.,曲面方程：,由对称性知：,第10页,10,x,o,y,面积为：,第11页,11,二、重 心,设密度函数为,空间物体,V,，,在,V,上连续.为求得,V,重心坐标,先对,V,作分割,T,是小块,质量可用,近似代替,若,把每一块看作质量集中在,质点时,整个,物体就可用这,n,个质点质点系来近似代替.因为,质点系重心坐标公式为,在属于,T,每一小块,上任取一点,于,第12页,12,第13页,13,重心坐标:,当物体,V,密度均匀分布时,即,为常数时，则有,当,自然地可把它们极限定义作为,V,第14页,14,一样能够得到,密度函数为,平面薄板,D,重心坐标:,当,为常数时，则有,
4、第15页,15,例,2,求密度均匀上半椭球体重心.,解,设椭球体由,表示.借助对,又由,为常数,所以,称性知道,故得,即求得上半椭球体重心坐标为,第16页,16,因质点系转动惯量等于各质点转动惯量之和,故,连续体转动惯量可用积分计算.,第17页,17,得：,第18页,18,例3.,求半径为,a,均匀半圆薄片对其直径,转动惯量.,解:,建立坐标系如图,半圆薄片质量,第19页,19,第20页,20,第21页,21,第22页,22,G,为引力常数,推广,到空间立体,：,设物体占有空间区域,物体对位于,原点单位质量,质点引力,利用元素法,其密度函数,第23页,23,曲 线 积 分,对弧长曲线积分,对坐
5、标曲线积分,定义,联络,计,算,三代一定,二代一定,(与方向相关),第24页,24,与路径无关四个等价命题,条件,等,价,命,题,(1)在,G,内,与路径无关，,(4)在,G,内存在,u,(,x,y,),使,(3)在,G,内，,(2),使闭曲线,在单连通区域,G,上,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),含有,连续,一阶偏导数，,则以下四个命题成立.,第25页,25,1.定积分与不定积分联络,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分联络,格林公式,第26页,26,第二类曲线积分,第27页,27,计算中包括相关公式,1.两类曲线积分几何意义,闭区域,D,面积,第28页,28,4.曲线积分,，其中,是,沿逆时针方向一周.,3.设L为从点(1,1)到点(0,0)直线段，则,（A）；（B）3 ；（C）0 ；（D）,第29页,29,第30页,30,第31页,31,解,8.,第32页,32,解,第33页,33,第34页,34,
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