第五章抽样与抽样分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020年5月29日星期五,#,07 六月 2025,第五章抽样与抽样分布,第一节 统计量,第二节 大数定律与中心极限定理,第三节 由正态分布导出的几个重要分布,第四节 常用的抽样方法,第五节 抽样分布,第五章 抽样与抽样分布,第一节 统计量,统计量,（statistic）：描述样本特征的概括性数字度量,根据样本数据计算的一个随机变量，是对总体分布特征推断的工具。,设,X,1,X,2,X,n,为总体,X,的样本，如果样本的函数g,(X,1,X,2,X,n,),是一个随机变量，并且,不包含任何未知参数,，则称g,X,1,X,2,X,n,),为,统计量,。,几个常用的统计量：,1.样本均值：,2.样本方差：,3.样本标准差：,第二节 大数定律与中心极限定理,一、大数定律,大数定律（laws of large numbers）也称,大数法则,，它是阐述大量同类随机现象的,平均结果,稳定性的规律。,辛钦大数定理,设随机变量X,1,X,2,X,n,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX,i,=,(i=1,2,，,n),则对任意,0,，有,定律表明：只要随机变量独立同分布，即使不存在有限方差，其数学期望仍可由n个随机变量的,算术平均值,作为其近似值。,二、中心极限定理,在统计学中，论证随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为,中心极限定理,（central limit theorem）。,独立同分布,中心极限定理,设,X,1,X,2,X,n,是,独立同分布,的随机变量序列，且存在有限的数学期望EX,i,=,和方差DX,i,=,2,(i=1,2,，n)，那么当n,时，,中心极限定理为,均值的抽样推断,奠定了理论基础。不论总体服从何种分布，只要期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样，当,样本量充分大,，,样本均值就趋于正态分布,。,棣莫佛拉普拉斯,中心极限定理,定理表明，当n很大，np和n(1-p)(,n是试验的次数，p是试验中事件A发生的概率,)也都不太小时，,二项分布可以用,正态分布去近似,。,第三节 由,正态分布,导出的几个重要分布,由样本统计量对未知总体分布进行推断，必须知道,统计量所服从的分布,。,本节介绍几个重要的常用统计量分布：,2,分布，t分布，,F分布。,一、分位数,设,X,为随机变量，对给定的概率,(10),，若实数,F,满足不等式,则称F,为随机变量X分布概率为,的,上侧分位数,。,若实数,T,/2,满足不等式,则称T,/2,为随机变量X分布概率为,的,双侧分位数,。,标准正态分布的,上侧分位数,Z,0,Z,标准正态分布的,双侧分位数,/,2,/,2,Z,0,-Z,/2,Z,/2,设,X,1,，,X,2,，,X,n,是取自,标准正态,总体的样本，则随机变量服从具有,n,个自由度的,2,分布,，记为,c,2,-,分布,(,2,-,distribution,),不同自由度的,c,2,-,分布,c,2,n,=1,n,=4,n,=10,1.,变量值始终为正,2.通常为不对称的,右偏分布,，随着自由度的增大逐,渐趋于对称,3.,期望,E,(,2,)=,n,，,方差,D,(,2,)=2,n,(,n,为自由度),4.,可加性,：若,U,和,V,为两个,独立,的,2,分布随机变量，,U,2,(n,1,)，,V,2,(,n,2,),则,U,+,V,服从自由度为,n,1,+,n,2,的,2,分布,c,2,-,分布,性质和特点,t-分布(t-distribution),设XN(0,1),Y,2,(,n,),且X与Y相互独立，则称,服从自由度为,n的t分布,，记为tt(n),t,分布与标准正态分布的比较,t,分布,标准正态分布,t,t,(,df,=20),t,(,df,=10),z,0,t分布的性质,：,（1）与正态分布一样，是,对称的,，但比正态分布要平一些。,（2）自由度充分大时，t分布近似于正态分布。自由度趋向无穷大时，t分布就是标准正态分布。,（3）,t分布的均值为0，其方差为n/(n-2)。,设X,2,(,m,),Y,2,(,n,),且X与Y相互独立，则称,服从自由度,m,和,n,的,F,分布,，记为,F,-,分布,(,F,distribution,),不同自由度的,F,分布,F,(1,10),(5,10),(10,10),右偏分布,第四节 常用的抽样方法,通常有以下几种抽样方法：,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,整群抽样,多阶段抽样,一、简单随机抽样,对总体未作任何处理，按,随机原则,直接从总体中抽出若干单位构成样本.,抽取样本的具体方法：,抽签法:,将总体中每个单位的编号写在外形完全一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽选，签上的号码所对应的单位就是样本单位。,随机数表法:,将总体中每个单位编上号码，然后使用随机数表，查出所要抽取的调查单位。,仅适用于,规模不大、内部各单位标志值差异较小,的总体,直接抽选法,先将总体按某一标志分层，然后从各层中按,随机原则,抽取样本单位组成样本。,二、分层抽样,实质上是,分组法,与,随机原则,的结合。,例如，在,居民生活水平调查,中，先按职业分类，然后每种职业分别随机抽取部分居民进行调查。,样本在各层间的分配方法：,等比例分配法,：按各层单位的比例分配样本单位。,类型抽样的优点：,能提高样本的代表性；,组织起来较为方便；,先将总体各单位按某一标志排队，然后按固定的顺序和间隔抽取样本单位。又称,机械抽样,或,等距,抽样,。,三、,系统,抽样,系统抽样是不重复抽样，适合于对单位数不多且能进行排序的总体抽样。,按无关标志排队,按有关标志排队,排序和所研究标志数值大小无关。如,调查居民生活水平时，按姓氏笔划排队。,排序和所研究标志数值大小有密切关系。如,居民收入调查，按银行存款多少排序。,根据样本抽选的方法不同，可分为：,随机起点系统抽样,半距起点系统抽样,对称起点系统抽样,（总体单位按某一标志排序）,（总体单位按某一标志排序）,（总体单位按某一标志排序）,系统抽样的好处：,1.,可,以使抽样过程大大简化，减轻抽样的工作量；,2.,如,果用有关标志排队，还可以缩小抽样误差，提高抽样推断效果。,按有关标志排队,系统,抽样,，实际上是一种,特殊的,分层,抽样,。,将总体全部单位分为若干,“群”,，然后以群作为抽样单位，从总体中抽取若干群作为样本，并对中选群的所有单位进行全面调查。,例总体群数R=16 样本群数r=4,样本容量,简单、方便，能节省人力、物力、财,力和时间，但其样本代表性可能较差,四、整群抽样,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,D,P,I,H,五、,多阶段抽样,某公司要进行全国性的产品售后服务满意度调查时，通常是先抽几个省，然后从抽中的省中抽取若干个城市，从抽中的城市中，再抽取若干个县、村，最后再抽到户，这种抽样方式就是多阶段抽样。,第五节 抽样分布,一、抽样分布概念,样本统计量取值的概率分布，叫,抽样分布,（sampling distribution）。,是推断统计中用样本推断总体时的重要理论依据。,在重复选取容量为,n,的样本时，由,样本均值的所有可能取值形成的概率分布,推断,总体均值,的理论基础,二、样本均值,的分布,=50,=10,X,总体分布,n,=4,抽样分布,x,n,=16,总体服从,正态分布,N,(,2,),，该总体的,任何容量,的,样本均值,x,也服从,正态分布,，,x,的期望值为,，方差为,2,/,n,。即,x,N,(,2,/,n,),从均值为,，方差为,2,的一个,任意总体,中抽取容量为,n,的样本，当,n,(,30)充分大,时，,样本均值的抽样分布,近似服从均值为,、方差为,2,/,n,的,正态分布,样本均值的抽样分布,趋于正态分布,任意分布的总体,x,样本均值抽样分布,与,总体分布,的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值,正态分布,样本均值,正态分布,样本均值,非正态分布,总体(或样本)中具有,某种属性的单位与全部单位总数之比,不同性别的人与全部人数之比,合格品(或不合格品)与全部产品总数之比,总体比例,可表示为,样本比例,可表示为,三、样本比例的分布,(proportion),在重复选取容量为,n,的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的,概率分布,当,样本容量很大时(np5,和,n(1-p)5,)，样本比例的抽样分布可用,正态分布近似,，即,样本比例的分布,