2019届浙江专版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用讲义.ppt

8.5,空间向量及其应用,高考数学,考点一空间角,1.两条异面直线所成的角,的范围是,.,当,=,时,这两条异面直线互相垂直.,2.斜线,AO,与它在平面,内的,射影,所成的角叫做直线和平面所成,的角(或夹角).,3.斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角,中,最小,的角.如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的,角为,90,;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面,所成的角为,0,.,知识清单,4.直线和平面所成角的范围为,.,5.斜线和所交平面所成的角的范围为,.,考点二空间向量在立体几何中的应用,1.空间向量及运算,(1)设,a,=(,a,1,a,2a,3,),b,=(,b,1,b,2,b,3,),则,a,+,b,=(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,3,+,b,3,);,a,-,b,=(,a,1,-,b,1,a,2,-,b,2,a,3,-,b,3,);,a,=(,a,1,a,2,a,3,);,a,b,=,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,;,a,b,(,b,0),a,1,=,b,1,a,2,=,b,2,a,3,=,b,3,;,a,b,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,=0,.,(2)设,A,(,x,1,y,1,z,1,)、,B,(,x,2,y,2,z,2,),则,=,-,=(,x2,-,x,1,y,2,-,y,1,z,2,-,z,1,).,这就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有,向线段的,终点,的坐标减,起点,的坐标.,2.两个向量的夹角及两点间的距离公式,(1)已知,a,=(,a,1,a,2,a,3,),b,=(,b,1,b,2,b,3,),则|,a,|=,=;|,b,|=,=,a,b,=,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,cos=,.,(2)已知,A,(,x,1,y,1,z,1,),B,(,x,2,y,2,z,2,),则|,|=,=,或者,d,AB,=|,|.其中,d,AB,表示,A,与,B,两点间的,距离,这就是空间两点间的距离公式.,3.若,a,b,均为非零向量,则向量,a,在向量,b,上的射影为|,a,|cos=,.,4.设,n,是平面,M,的一个法向量,AB,、,CD,是,M,内的两条相交直线,则,n,=0,n,=0.由此可求出法向量,n,(向量,及,已知).,5.利用空间向量证明线面平行:只要在平面,内找到一条直线的方向向,量,b,已知直线的方向向量为,a,问题转化为证明,a,=,b,即可.或者已,知直线上的A、B两点坐标,在平面内找出两点C、D,写成坐标形式,=(x,1,y,1,z,1,),=(x,2,y,2,z,2,),只需证明x,1,=x,2,且y,1,=y,2,且z,1,=z,2,.,6利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个方,向向量,a,、,b,只要证明,a,b,即,a,b,=0即可.,7.证明线面垂直:已知直线,l,平面,要证,l,只要在,l,上取一个非零向,量,p,在,内取两个不共线的向量,a,、,b,问题转化为证,p,a,且,p,b,也就是,a,p,=0且,b,p,=0.,8.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.,9.空间角公式,(1)异面直线所成角公式:设,a,、,b,分别为异面直线,l,1,、,l,2,的方向向量,为,l,1,、,l,2,所成的角,则cos,=|cos|=,.,(2)线面所成角公式:设,l,为平面,的斜线,a,为,l,的方向向量,n,为平面,的法,向量,为,l,与,所成的角,则sin,=|cos|=,.,(3)面面角公式:设,n,1,、,n,2,分别为平面,、,的法向量,二面角为,则,=或,=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=,.,异面直线所成角的求解策略,1.用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.,2.用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.,例1如图,平面,ABCD,平面,ADEF,其中,四边形,ABCD,为矩形,四边形,ADEF,为梯形,AF,DE,AF,FE,AF,=,AD,=2,DE,=1.求异面直线,EF,与,BC,所,成角的大小.,方法技巧,方法,1,解题导引,导引一:延长,AD,FE,交于,Q,利用线线平行得异面直线所成角,解三角形得结论,导引二:证明三线互相垂直建立空间直角坐标系计算两直线的方向,向量的夹角,得结论,解析解法一:延长,AD,FE,交于,Q,如图.,因为四边形,ABCD,是矩形,所以,BC,AD,所以,AQF,是异面直线,EF,与,BC,所成的角.,在梯形,ADEF,中,因为,DE,AF,AF,FE,AF,=,AD,=2,DE,=1,所以,DQ,=,AD,=2,AQF,=30,.故异面直线,EF,与,BC,所成的角为30,.,解法二:,AB,AD,平面,ABCD,平面,ADEF,且平面,ABCD,平面,ADEF,=,AD,AB,平面,ADEF,故,AB,AF,EF,两两垂直,以,F,为原点,AF,FE,所在的,直线分别为,x,轴,y,轴,过点,F,平行于,AB,的直线为,z,轴,建立空间直角坐标系,F,-,xyz,如图.,在梯形,ADEF,中,由,AF,DE,AF,FE,AF,=,AD,=2,DE,=1,得,FE,=,.,则,F,(0,0,0),A,(-2,0,0),E,(0,0),D,(-1,0),所以,=(0,0),=,=(1,0).,则cos=,=,=,所以=30,故异面直线,EF,与,BC,所成角的大小为30,.,评析本题考查用“平移法”作异面直线所成角,用“向量法”求异面,直线所成角,考查逻辑推理能力和空间想象能力.,直线与平面所成角的求解策略,1.按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形.,2.求平面的法向量,利用直线所在的方向向量与平面的法向量所成的锐,角和直线与平面所成角互余求线面角.,3.利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角,的正弦值求线面角.,例2(2017浙江镇海中学第一学期期中,17)在三棱锥,D,-,ABC,中,DA,=,DB,=,DC,D,在底面,ABC,上的射影为,E,AB,BC,DF,AB,于,F,.,(1)求证:平面,ABD,平面,DEF,;,(2)若,AD,DC,AC,=4,BAC,=60,求直线,BE,与平面,DAB,所成的角的正弦,值.,方法,2,解题导引,(1)由线面垂直得线线垂直由线面垂直的判定定理得线面垂直由面面垂直的判定得结论,(2)导引一:利用面面垂直的性质过点作平面的垂线作出线面角解,三角形得结论,导引二:建立空间直角坐标系,计算各点的坐标求平面,DAB,的法向量,结论,解析(1)证明:由题意知,DE,平面,ABC,所以,AB,DE,又,AB,DF,且,DE,DF,=,D,所以,AB,平面,DEF,又,AB,平面,ABD,所以平面,ABD,平面,DEF,.,(2)解法一:由,DA,=,DB,=,DC,知,EA,=,EB,=,EC,所以,E,是,ABC,的外心.,又,AB,BC,所以,E为,AC,的中点,如图所示.,过,E,作,EH,DF,于,H,连接,BH,则由(1)知,EH,平面,DAB,所以,EBH,即为,BE,与平面,DAB,所成的角.,由,AC,=4,BAC,=60,得,AB,=,AE,=,BE,=2,所以,EF,=,又,DE,=2,所以,DF,=,=,EH,=,所以sin,EBH,=,=,.,解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则,A,(0,-2,0),D,(0,0,2),B,(,-1,0),所以,=(0,-2,-2),=(,-1,-2),=(,-1,0).,设平面,DAB,的法向量为,n,=(,x,y,z,),由,得,取z=1,得,n,=,.,设,与,n,的夹角为,则cos,=,=,=,所以,BE,与平面,DAB,所成的角的正弦值为,.,评析本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定,平面的法向,量和线面角的作法和计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.,平面与平面所成角的求解策略,二面角的平面角的作法是重点,构造平面角主要有以下方法:,(1)根据定义;,(2)利用二面角的棱的垂面;,(3)利用两同底等腰三角形底边上的两条中线;,(4)射影法,利用面积射影定理,S,射,=,S,斜,cos,;,(5)向量法,利用组成二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角相,等或互补.,例3(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,19)如图,在四棱锥,P,-,ABCD中,侧面,PAB,底面,ABCD,四边形,ABCD,是边长为2的正方形,PA,=,PB,点,M,在,线段,PC,上(不含端点),且,BM,平面,PAC,.,方法,3,(1)求证:,AP,平面,BCP,;,(2)求二面角,B,-,AC,-,P,的正弦值.,解题导引,(1)由线面垂直得,AP,BM,由面面垂直得,AP,BC,由线面垂直的判,定得结论,(2)建立空间直角坐标系,计算各点的坐标求两平面的法向量结论,解析(1)证明:,BM,平面,PAC,BM,AP,.,侧面,PAB,底面,ABCD,且,BC,AB,BC,侧面,PAB,BC,AP,.,又,BC,与,BM,是平面,BCP,内两相交直线,AP,平面,BCP,.,(2)设,AB,的中点为,O,CD,的中点为,N,连接,OP,、,ON,则,ON,AB,.由平面,PAB,平面,ABCD,且,PO,AB,得,PO,底面,ABCD,PO,ON,.分别以,OB,、,ON,、,OP,所在的直线为,x,、,y,、,z,轴建立空间直角坐标系,如图所示.,由,AP,平面,BCP,得,AP,BP,又,PA,=,PB,AB,=2,可得,OP,=1.,则各点坐标为,A,(-1,0,0),B,(1,0,0),C,(1,2,0),P,(0,0,1).平面,ABC,的一个法向,量为,n,=(0,0,1).,设平面,PAC,的法向量为,m,=(,x,y,z,).又,=(1,0,1),=(2,2,0),所以由,m,=0,m,=0,得,取,z,=1,得,m,=(-1,1,1).,设二面角,B,-,AC,-,P,的平面角为,则|cos,|=,=,故sin,=,.即二,面角,B,-,AC,-,P,的正弦值为,.,评析本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定和性质,法向量和二,面角的计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.建立恰当的空间直角,坐标系是解题的关键.,用向量证明平行或垂直的求解策略,1.用向量证明平行的方法,(1)线线平行,只需证明两直线的方向向量是共线向量.,(2)线面平行,证明直线的方向向量能被平面的两个基底所表示,或证明,直线的方向向量与平面的法向量垂直.,(3)面面平行,证明两平面的法向量是共线向量.,2.用向量证明垂直的方法,(1)线线垂直,只需证明两直线的方向向量互相垂直.,(2)线面垂直,证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.,(3)面面垂直,证明两平面的法向量互相垂直.,方法,4,例,4,如图,已知,AB,平面,ACD,DE,平面,ACD,ACD,为等边三角形,AD,=,DE,=2,AB,F,为,CD,的中点.,(1)求证:,AF,平面,BCE,;,(2)求证:平面,BCE,平面,CDE,;,(3)求直线,BF,和平面,BCE,所成角的正弦值.,解题导引,(1)建立空间直角坐标系,计算,点的坐标、向量的坐标得向量,的关系结论,(2)由向量法证线面垂直由面面垂直的判定得结论,(3)求平面的法向量由直线的方向向量与平面的法向量所成角与线面角的关系得结论,解析设,AD,=,DE,=2,AB,=2,a,(,a,0),建立如图所示的空间直角坐标系,A,-,xyz,则,A,(0,0,0),C,(2,a,0,0),B,(0,0,a,),D,(,a,a,0),E,(,a,a,2,a,).,F,为,CD,的中点,F,.,(1)证明:,=,=(,a,a,a,),=(2,a,0,-,a,),=,(,+,),又,AF,平面,BCE,AF,平面,BCE,.,(2)证明:,=,=(-,a,a,0),=(0,0,-2,a,),=0,=0,又,CD,ED,=,D,AF,平面,CDE,又,AF,平面,BCE,平面,CDE,平面,BCE,.,(3)设平面,BCE,的法向量为,n,=(,x,y,z,),由,n,=0,n,=0可得,x,+,y,+,z,=0,2,x,-,z,=0,取,n,=(1,-,2),又,=,设,BF,和平面,BCE,所成的角为,则sin,=,=,=,直线,BF,和平面,BCE,所成角的正弦值为,.,评析本题考查利用向量证明线面平行,面面垂直,平面的法向量和线,面角的计算,考查逻辑推理能力和空间想象能力.建立恰当的空间直角,坐标系是解题的关键.,