高中数学必修五同课异构2.3等差数列的前n项和2.3.1探究导学课型市公开课一等奖课件名师大赛获奖课.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,2.3等差数列的前n项和,第1学时等差数列的前n项和,1.体会等差数列前n项和公式的推导过程.,2.掌握等差数列前n项和公式，并应用其解决实际问题.,3.纯熟掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn间的关系.,等差数列的前,n,项和公式,已知量,首项、末项与项数,首项、公差与项数,前,n,项和公式,S,n,=_,S,n,=_,1.,若等差数列,a,n,前,5,项和,S,5,=10,，则,a,3,=(,),A.2,B.4,C.6,D.8,【,解析,】,选,A.S,5,=10,，即,a,1,+a,5,=4,，,故,a,3,=2.,2.等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则d=.,【解析】由于S3=3a1+d=6，因此d=-2.,答案：-2,3.若等差数列an的通项公式为an=2n，则Sn=.,【解析】由题意知a1=2，d=2，因此Sn=na1+2,=n2+n.,答案：n2+n,一、等差数列前,n,项和公式,结合等差数列的通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,及前,n,项和公式,S,n,=,；,S,n,=na,1,+d,，思考下面的问题：,探究,1,：试用数列,a,n,的通项公式,a,n,=a,1,+(n-1)d,及,S,n,=,推导,S,n,=na,1,+d.,提示：,将,a,n,=a,1,+(n-1)d,代入,S,n,=,化简即可,.,探究2：等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉及几个量？如何求这些量？,提示：在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，因此只需懂得其中的3个量就能够通过解方程组求出另外的2个量.,【探究总结】等差数列前n项和公式的三个关注点,(1)等差数列前n项和公式中涉及五个量，已知其中任意三个就能够列方程组求另外两个(简称“知三求二”)，它是方程思想在数列中的体现.,(2)等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的合用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.,(3)当Sn是n的二次函数时，an不一定是等差数列.如果Sn=an2+bn+c，则在c=0时an是等差数列，在c0时an不是等差数列；反过来an是等差数列，Sn的体现式能够写成Sn=an2+bn的形式，但当an是不为零的常数列时，Sn=na1是n的一次函数.,二、等差数列前n项和的性质,由等差数列的前n项和公式Sn=na1+变形得：,请根据该式子思考下面的问题：,探究1：等差数列的前n项和与否能够当作是有关n的二次函数？,提示：能够，若令A=，B=a1-，则 可化为,Sn=An2Bn，显然是有关n的二次函数.,探究2：若Sn为等差数列an的前n项和，则数列,与否为等差数列？若是，则公差是什么？,首项是什么？,提示：根据等差数列的前n项和公式可得，,两边同除以n得：因此 是首项为a1，公差,为 的等差数列.,【探究总结】1.对等差数列的前n项和性质的两点阐明,(1)等差数列的前n项和能够写成Sn=An2+Bn，其中A，BR(注意不含常数项时才为等差数列)，其中公差为2A.,(2)运用等差数列的前n项和性质解题能使问题的解决简朴、快捷.,2.,等差数列前,n,项和的三条性质,(1),等差数列,a,n,中，若,S,n,=m,，,S,m,=n(mn),，则,S,m+n,=-m+n).,(2),等差数列,a,n,中，若,S,n,=S,m,(mn),，则,S,m+n,=0.,(3),设数列,a,n,是等差数列，项数为,m,，其奇数项之和记为,S,奇,，,偶数项之和记为,S,偶,，那么，当项数,m,为偶数,2n,时，,S,偶,-S,奇,=nd,，,当项数,m,为奇数,2n+1,时，,S,奇,-S,偶,=a,n+1,，,.,类型一,等差数列前,n,项和公式的应用,1.(2014,福建高考,),等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,1,=2,，,S,3,=12,，则,a,6,等于,(,),A.8,B.10,C.12,D.14,2.,已知数列 则,a,1,a,2,+a,3,+a,4,+,+a,99,+a,100,=(,),A.4800,B.4900,C.5000,D.5100,3.,数列,a,n,为等差数列,.,已知,a,2,=1,，,a,4,=7.,(1),求通项公式,a,n,.,(2),求,a,n,的前,10,项和,S,10,.,【解题指南】1.运用公式，联系基本量a1，d建立方程求解.,2.先列出数列的项，再运用等差数列的前n项和公式求解.,3.先根据a2=1，a4=7，求出首项和公差，进而得出通项公式，再根据等差数列的前n项和公式求前10项和.,【自主解答】1.选C.由题得 解得,因此a6=a1+5d=12.,2.选C.由题意得a1+a2+a3+a4+a99+a100,=0+2+2+4+4+98+98+100,=2(2+4+6+98)+100,=2 +100=5 000.,3.(1)设公差为d，则,解得 因此an=3n-5.,(2)S10=10(-2)+3=115.,【规律总结】等差数列前n项和公式运用的注意点及解题流程,(1)注意点：,方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，普通是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解；,整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.,(2)解题流程：,等差数列an中，a1和d是两个基本量，运用等差数列通项公式与前n项和公式列方程组求解a1和d是解决等差数列求和问题的惯用方法.,其普通的解题流程为：,【,变式训练,】,1.,已知,a,n,为等差数列，,S,n,为其前,n,项和，若,a,1,=,，,S,2,=a,3,，,则,a,2,=,，,S,n,=,.,2.,在等差数列,a,n,中，已知,a,6,=10,，,S,5,=5,，则,S,8,=,.,【解析】1.设an的公差为d，,由S2=a3知，a1+a2=a3，即2a1+d=a1+2d，,又a1=，因此d=，故a2=a1+d=1，,Sn=na1+n(n-1)d=n+(n2-n)=n2+n.,答案：1 n2+n,2.由于a6=10，S5=5，,因此 解方程组得,则S8=8a1+28d=8(-5)+283=44.,答案：44,类型二等差数列前n项和的性质的应用,1.(2014重庆高二检测)在等差数列an中，3(a2+a6)+,2(a5+a10+a15)=24，则此数列前13项之和为(),A.26B.13C.52D.156,2.等差数列an的通项公式是an=2n+1，其前n项和为Sn，则数,列 的前10项和为.,3.一种等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求,前110项之和.,【解题指南】1.由条件求出a1+a13的值，然后运用等差数列,前n项和的性质求解.,2.运用数列 是等差数列来求解.,3.可运用等差数列前n项和的性质求解.,【自主解答】1.选A.由条件知6a4+6a10=24，即a4+a10=4，,故a1+a13=4，因此S13=26.,2.由于an=2n+1，因此a1=3，,因此Sn=n2+2n，因此 =n+2，,因此 是公差为1，首项为3的等差数列，,因以前10项和为310+1=75.,答案：75,3.数列S10，S20-S10，S30-S20，S100-S90，S110-S100成等差数,列，设其公差为D，前10项和10S10+D=S100=10，因此,D=-22，因此S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.,因此S110=-120+S100=-110.,【规律总结】等差数列前n项和的几个惯用性质,已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中惯用的性质有：,(1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，成等差数列.,(2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an.,【变式训练】已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sm=70，S2m=110，则S3m=.,【解析】由于an为等差数列，,因此Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列，,因此2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m，,即2(110-70)=70+S3m-110，,因此S3m=120.,答案：120,类型三,数列,S,n,与,a,n,的关系问题,1.(2013,新课标全国卷,),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,S,m-1,=-2,，,S,m,=0,，,S,m+1,=3,，则,m=(,),A.3,B.4,C.5,D.6,2.S,n,是数列,a,n,的前,n,项和，根据条件求,a,n,.,(1)S,n,=2n,2,+3n+2.,(2)S,n,=3,n,-1.,【解题指南】1.运用an=Sn-Sn-1，求出am及am+1的值，从而拟定,等差数列an的公差，再运用前n项和公式求出首项a1，进而,根据通项公式求出m的值.,2.运用 求数列的通项公式，注意验证n=1,时与否适合普通的式子.,【自主解答】1.选C.由已知得，am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，由于数列an为等差数列，,因此d=am+1-am=1，,又由于,因此m(a1+2)=0，,由于m0，因此a1=-2，,又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.,2.(1)当n=1时，a1=S1=7，,当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-2(n-1)2+3(n-1)+2,=4n+1，又a1=7不适合上式，,因此an=,(2)当n=1时，a1=S1=2，,当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1，显然a1适合上式，,因此an=23n-1(nN*).,【规律总结】由数列的前n项和求数列的通项公式的环节,(1)令n=1，求a1，即a1=S1.,(2)当n2时，an=Sn-Sn-1.,(3)验证n=1时，an=Sn-Sn-1与否成立.,(4)得出结论.,【变式训练】已知数列an的前n项和 求数,列an的通项公式an.,【解析】当n2时，an=Sn-Sn-1,当n=1时，满足上式，,因此an=-3n+104(nN*).,类型四等差数列前n项和的实际应用,1.为了参加5 000m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划.第1天跑5 000m，后来每天比前一天多跑400m，李强10天一共跑了m.,2.甲、乙两物体分别从相距70m的两处相向运动，甲第一分钟运动2m，后来每分钟比前一分钟多运动1m，乙每分钟运动5m.,(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？2)如果甲、乙达成对方起点后立刻折回，甲继续每分钟比前一分钟多运动1m，乙继续每分钟运动5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？,【解题指南】1.根据李强每天跑的路程构成一种首项为,5 000m，公差为400m的等差数列，转化为求和.,2.(1)甲每分钟运动的路程构成了一种首项a1=2，公差d=1的等差数列，由甲运动的路程与乙运动的路程之和为70求解.,(2)到第二次相遇，甲、乙两人共运动了370m，建立方程求解.,【自主解答】1.将李强每一天跑的路程记为数列an，,则a1=5 000m，公差d=400m.,因此S10=10a1+d,=105 000+45400=68 000(m)，,故李强10天一共跑了68 000m.,答案：68 000,2.把物理问题转化为等差数列求项数问题.,(1)设第n分钟后第一次相遇，依题意有,2n+5n=70，,整顿，得n2+13n-140=0，,解得n=7，n=-20(舍去).,因此第一次相遇在开始运动后的第7分钟.,(2)设第m分钟后第二次相遇，,依题意，有2m+5m=370，,整顿，得m2+13m-420=0，,解得m=15，m=-28(舍去).,因此第二次相遇在开始运动后的第15分钟.,【规律总结】解数列应用题的四个关注点,(1)认真审题，精确理解题意，认真筛选，收集和解决问题中提供的信息，善于把问题数学化.,(2)搞清题目中的重要已知事项，明确所求的结论是什么.,(3)将实际问题抽象为数列问题，将已知与所求联系起来，根据题意引出满足题意的数学关系式.,(4)在解数列应用题时，普通要经历“设列解答”四个环节.,【变式训练】某地区有荒山2 200亩，从2007年开始每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，后来每一年比上一年多植树50亩.若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？,【解析】由题意可知，各年植树亩数为100，150，200，,成等差数列，,设植树n年可将荒山全部绿化，则：,100n+50=2 200，,解之得n=8或n=-11(舍去)，,因此到2014年可将荒山全部绿化.,