数列知识点梳理及解题方法归纳.doc

数列知识点梳理及解题方法归纳
数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义及性质

（比例中项性质）

0的二次函数）

项，即：

二、等比数列的定义及性质

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法
2、；
3、求差（商）法

解：

， ，
［练习］

4、叠乘法

解：

5、等差型递推公式

［练习］

6、等比型递推公式

［练习］

7、倒数法
，
，
，
三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解

［练习］

3、错位相减法：

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再及原来顺序的数列相加。

4、分组转化法（第一课有例题）
［练习］

例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解：∵ a2 a= a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．
例2 已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243 （全国Ⅰ卷第7题）
答案：A．
例3 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186 （北京卷第7题）
略解：∵a-a=3d=9，∴ d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．
例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7 （广东卷第4题）
略解：∵,故选B.
例5在数列中，，其中为常数，则 ．（安徽卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列中，， ，则（ ）
A． B．
C． D．（江西卷第5题）
答案：A．
例7 设数列中，，则通项 ___________．（四川卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵ ∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．
例8 若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题)
答案：B．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题）
略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵. bn•bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ bn·bn+2＜b．
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
∵ b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴ bn-bn+2b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化及化归思想，考查推理及运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，及理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．(Ⅰ)求及； (Ⅱ)求和：．（江西卷第19题）
略解：(Ⅰ)设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去，为什么？)故．
（Ⅱ），∴ ．
“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是及其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列的前项和为，（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵，所以．由知， 得， ①，，．
（Ⅱ）由题设和①式知，， 是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例13 数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，， ，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）
略解：（I）
一般地, 当时，
即
所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为
（II）由（I）知，
=
于是，.
下面证明: 当时，事实上, 当时， 即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.

9 / 9