《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案).pdf

选修选修 45不等式选讲不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0 时等号成立()(2)对|ab|a|b当且仅当 ab0 时等号成立()(3)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，则 x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1 的解集是()Ax|0 x2 Bx|1x2Cx|0 x1 Dx|1x3解析解法一：x1 时，满足不等关系，排除 C、D、B，故选 A.解法二：令 f(x)Error!则 f(x)1 的解集为x|0 x2答案A3设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若 a，b，c(0，)，且 abc1，则的最大值为()abcA1 B 2C.D23解析()2(111)2(121212)(abc)abcabc3.当且仅当 abc 时，等号成立13()23.abc故的最大值为.故应选 C.abc3答案C5若存在实数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得 x 到 a 与到 1 的距离和小于 3，所以 a 的取值范围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015山东卷)不等式|x1|x5|2 的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)(2)(2014湖南卷)若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为Error!，则a_.解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论解析(1)当 x1 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当 1x5 时，不等式可化为 x1(x5)2，即 2x62，解得 x5 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即 42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选 A.(2)|ax2|3，1ax0 时，x，与已知条件不符；1a5a当 a0 时，xR，与已知条件不符；当 a0 时，x，又不等式的解集为Error!，故 a3.5a1a答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 对点训练已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围解(1)当 a3 时，f(x)Error!当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 2xc 或|xa|xb|k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是_解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2 a23，解得a.121 1741 174即实数 a 的取值范围是.1 174，1 174(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 PAPBk 恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当 kk 恒成立，从图象中可以看出，只要 k3 即可故k3 满足题意答案(1)(2)(，3)1 174，1 174解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的 x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立acd，则；abcd(2)是|ab|cd 得()2()2.abcd因此.abcd(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.abcd若，则()2()2，即abcdabcdab2cd2.abcd因为 abcd，所以 abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件abcd分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 对点训练(2014新课标全国卷)设 a、b、c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcac；13(2)1.a2bb2cc2a证明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca.13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.a2bb2cc2a所以1.a2bb2cc2a方法规律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛1对含有参数的不等式求解时，分类要完整2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件 课时跟踪训练课时跟踪训练(七十七十)一、填空题1不等式|2x1|3 的解集为_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2 的解集为_解析当 x 时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即123x，此时 x.当 x1 时，原不等式等价为(2x1)23231212(x1)2，即 x0，此时 x0.当 x1 时，原不等式等价为(2x1)(x1)122，即 3x2，x，此时不等式无解，综上，原不等式的解为 x0，即原不2323等式的解集为.(23，0)答案(23，0)4已知关于 x 的不等式|x1|x|k 无解，则实数 k 的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当 k1 时，不等式|x1|x|k 无解，故 k1.答案(，1)5(2015西安统考)若关于实数 x 的不等式|x5|x3|a 无解则实数 a的取值范围是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故 a8.答案(，86(2015重庆卷)若函数 f(x)|x1|2|xa|的最小值为 5，则实数a_.解析当 a1 时，f(x)3|x1|0，不满足题意；当 a1 时，f(x)Error!f(x)minf(a)a12a5，解得 a4.答案6 或 47若关于 x 的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数 a 的取值范围是_解析f(x)|x1|x2|Error!f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即 a3 或 a3.答案(，33，)8已知关于 x 的不等式|xa|1x0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围是_解析若 x1(x1)2对任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x0 对任意的 x1，)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的 x1，恒成立，解得 a1.综上，a0 时，将不等式5a 整理，得 a25a40，无解；4a4a当 a0 时，将不等式5a 整理，得 a25a40，则有 a4 或4a1a0.综上可知，实数 a 的取值范围是(，41,0)答案(，41,0)二、解答题13已知不等式 2|x3|x4|2a.(1)若 a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，不等式即为 2|x3|x4|2，若 x4，则 3x102，x4，舍去若 3x4，则 x22，3x4；若 x3，则 103x2，1，a，即 a 的取值范围为.12(12，)14(2015新课标全国卷)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得 x0，解得 1x1 的解集为Error!.(2)由题设可得，f(x)Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC 的面积为(a1)2.(2a13，0)23由题设得(a1)26，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，)15设函数 f(x)|x1|xa|.(1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，f(x)Error!作出函数 f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式 f(x)3 的解集为Error!.(2)若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若 a1，f(x)Error!f(x)的最小值为 a1.对于xR，f(x)2 的充要条件是|a1|2，a 的取值范围是(，13，)16(2015福建卷)已知 a0，b0，c0，函数 f(x)|xa|xb|c 的最小值为 4.(1)求 abc 的值；(2)求 a2 b2c2的最小值1419解(1)因为 f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb 时，等号成立又 a0，b0，所以|ab|ab，所以 f(x)的最小值为 abc.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 abc4.(2)由(1)知 abc4，由柯西不等式得(491)(14a219b2c2)2(abc)216，(a2 2b3 3c 1)即 a2 b2c2.141987当且仅当，12a213b3c1即 a，b，c 时等号成立8718727故 a2 b2c2的最小值为.141987