必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案).doc

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标]　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．

知识点一　平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
思考　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b？上述结论是怎样推导的？
答案　推导：∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j，
∴a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
知识点二　平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
思考　设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．
答案　推导：∵＝－
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
知识点三　平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
cos θ＝＝.
特别地，若a⊥b，则有x1x2＋y1y2＝0；
反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
思考　(1)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b则x＝________.
(2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________．
(3)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形．
答案　(1)2　(2)π　(3)直角

题型一　平面向量数量积的坐标运算
例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．

跟踪训练1　已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．
解　∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)．

b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)
＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
题型二　平面向量的夹角问题
例2　已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解　设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．

跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角．
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．

题型三　平面向量数量积坐标形式的综合运用
例3　已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解　设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴.
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得，
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)．
∴||＝＝，即||＝，D(1,1)．

跟踪训练3　在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos∠BAC的值．
解　(1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，
所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，
＝，|＝，
cos∠BAC＝＝＝.

当心“角”下陷阱

例4　已知a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围．
错解　因为θ为锐角，所以cos θ>0，由a·b＝|a||b|cos θ知，只需a·b>0，即1×2＋3λ>0，即λ>－.
错因分析　本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角等价于a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1>0，对于非零向量a与b有a·b>0.两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a不平行于b.
正解　由θ为锐角，得cos θ>0且θ≠0，由ab＝|a|·|b|cos θ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，即1×2＋3λ>0，即λ>－；若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6，但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.
综上，λ>－且λ≠6.

1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．1 B. C．2 D．4
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

一、选择题
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向

2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2 C．4 D．12
4．已知＝(－2,1)，＝(0,2)，且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2,6) D．(－2,6)
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A. B. C．5 D．25
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
7．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
8．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，则b＝________.
9．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
10．设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角θ为钝角，则x的取值范围是____________________．
三、解答题
11．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．

12．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.

13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．

当堂检测答案
1．答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
2．答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.
∴|a|＝＝2.
3．答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
4．答案　8
解析　∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－6b，
∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8.
5．解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos θ＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
解析　a·b＝－5×6＋6×5＝0，
∴a⊥b.
2．答案　A
解析　由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－.
3．答案　B
解析　a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
4．答案　D
解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)．
由∥，⊥，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
5．答案　C
解析　∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.
6．答案　D
解析　设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
解得①②得x＝－，y＝－.

二、填空题
7．答案　1
解析　a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.

8．答案　(－4,8)
解析　由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
9．答案　
解析　设a、b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝×＝.
或直接根据计算a在b方向上的投影．
10．答案　x<且x≠－
解析　∵θ为钝角，∴cos θ＝<0，
即a·b＝－8＋5x<0，∴x<.
∵a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，
当x＝－时，a＝(2，－)＝－b，
∴a与b反向，即θ＝π.
故a与b的夹角为钝角时，
x<且x≠－.
三、解答题
11．解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
12．解　(1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
又|a－b|＝
＝，
∴|a－b|＝2或2.
13．(1)证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解　⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴　得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0，
||＝2 ，||＝2 .
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.