数列经典讲义(教师版).doc

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数列和数列的练习

一、数列及其相关概念
1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．
2．数列的项及通项：
数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项（首项），第项，…，第项．
数列的一般形式可以写成：或简记为，其中是数列的第项，又称为数列的通项．
3．数列的通项公式
如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个函数式来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．
4．数列的分类

数列的分类方式一般有三种：
（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；
（2）从第项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；
（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列．
5．数列的表示方法
数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集）的一类特殊的函数，数列的通项公式也就是函数的解析式．
数列的表示方法通常有三种：
（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；
（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）；
（3）列表法．
6．数列和函数、集合的区别
（1）数列和函数：数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数．
（2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的
7．数列的递推公式
如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，．
给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．
8 数列的前项和
数列的前项和定义为：．
数列的前项和构成了一个新的数列，且．

一、数列的基本概念

1. （2010年东城一模7） 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使 成立的最小自然数等于（ ）
A． B． C． D．

2. （2011年海淀二模5）已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A.16 Ｂ.8 Ｃ. Ｄ.4

3. 数列满足，则等于（ ）
A． B． C． D．-3

4. （2011年东城区期末理11）在数列中，若，且对任意的正整数都有
，则的值为　　　　　　．

5. （2010年东城二模6）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C．（2，3） D．（1，3）

6. 已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立．数列满足，且．则数列的通项公式__________________ ．

二、数列的递推公式
7. （2006年重庆12）在数列中，若，则该数列的通项

8. 数列中，，对所有的，都有，求数列的通项公式．

9. 若数列中且（是正整数），则数列的通项公式时

10. 已知数列，满足，则的通项

11. 求满足下列条件的数列的通项公式
（1）已知满足求
（2）已知满足，且，求

二、与的关系

12. （2011年四川9）数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 ×44 B．3 ×44+1 C．44 D．44+1

13. 设数列的前n项和为则=______

14. 已知下列个数列的前项和的公式，求的通项公式
（1）；（2）；（3）

15. 已知下列个数列的前项和的公式，求的通项公式
（1）（2）

等差数列

二、等差数列
1．等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
用递推公式表示为an - an - 1 = d (n ³ 2)或an + 1 - an = d (n Î N*)．
2．等差数列的通项公式：an = a1 + (n - 1)d = am + (n - m)d．
3．等差中项的概念：
定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．其中．
说明a，A，b成等差数列 Û ．
4．等差数列的前n和公式：．
5．等差数列的性质：
(1) 在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项．
(2) 在等差数列{an}中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列．
如：a1，a3，a5，a7，…；a3，a8，a13，a18，…．
(3) 在等差数列{an}中，对任意m，n Î N*，an = am + (n - m)d，(n ¹ m)．
(4) 在等差数列{an}中，若m + n = s + t (m，n，s，t Î N*)，则am + an = as + at．
(5) 等差数列{an}中，公差为d，
若d > 0，则{an}是递增数列；若d = 0，则{an}是常数列；若d < 0，则{an}是递减数列．
6．数列最值：
(1) a1 > 0，d < 0时，Sn有最大值；a1 < 0，d > 0时，Sn有最小值．
(2) Sn最值的求法：
① 若已知Sn，可用二次函数最值的求法(n Î N*)；
② 若已知an，则Sn取最值时n的值(n Î N*)可如下确定或．

1. (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2) - 401是不是等差数列- 5，- 9，- 13，…的项？如果是，是第几项？
解：(1) 由a1 = 8，d = 5 - 8 = - 3，n = 20，得a20 = 8 + (20 - 1) ´ (- 3) = - 49．
(2) 由a1 = - 5，d = - 9 - (- 5) = - 4，得数列通项公式为：an = - 5 - 4(n - 1)，
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立，解之得n = 100，即- 401是这个数列的第100项．

2. (2011湖南理12)设Sn是等差数列{an}(n Î N*)，的前n项和，且a1 =1，a4 = 7，则S5 = ．
【答案】25
【解析】由a1 =1，a4 = 7可得a1 =1，d = 2，a5 = 9，所以．

3. (2012辽宁理6)在等差数列{an}中，已知a4 + a8 = 16，则该数列前11项和S11 = ( B )
A．58 B．88 C．143 D．176
【解析】在等差数列中，∵a1 + a11 = a4 + a8 = 16，∴，答案为B．

4. (2012江西理12) 设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1 + b1 = 7，a3 + b3 = 21，则a5 + b5 = ．
【答案】35
【考点】本题考查等差数列的概念和运算．考查等差中项的性质及整体代换的数学思想．
【解析】(解法一)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an + bn}也是等差数列．
故由等差中项的性质，得(a5 + b5) + (a1 + b1) = 2(a3 + b3)，即(a5 + b5) + 7 = 2 ´ 21，解得a5 + b5 = 35．
(解法二)设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
因为a3 + b3 = (a1 + 2d1) + (b1 + 2d2) = (a1 + b1) + 2(d1 + d2) = 7 + 2(d1 + d2) = 21，
所以d1 + d2 = 7．所以a5 + b5 = (a3 + b3) + 2(d1 + d2) = 35．
5. 等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2 + a4 + a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是( C )
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
【解析】设a2 + a4 + a15 = p(常数)，∴3a1 + 18d = p，即a7 =p．∴S13 == 13a7 =p．

6. (2012浙江理7)设Sn是公差为d (d ≠ 0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( C )
A．若d < 0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d < 0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n Î N*，均有Sn > 0
D．若对任意n Î N*，均有Sn > 0，则数列{Sn}是递增数列
【解析】选项C显然是错的，举出反例：- 1，1，3，5，7，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn > 0不恒成立．故选C．

7. 把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于( B   )
A．1113　 B．4641　 C．5082　 D．53361
【分析】第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．
解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1 + 2 + 3 + … + 20 = 210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21 = 21 ´ 211 +´ 1 = 4641，故选B．
【说明】认真分析条件，转化为数列的基本问题．

8. 已知数列{an}的前n项和Sn = 10n - n2 (n Î N*)，又bn = | an |，求bn的前n项和Tn．
解：由题可得：a1 9，当n > 1时an = Sn - Sn - 1 = - 2n + 11，
若使an = - 2n + 11 ³ 0，则n £ 5.5，即数列的前5项非负，以后各项均负，
∴当n ≤ 5时，Tn = Sn = 10n - n2，
当n ≥ 6时，
Tn = a1 + a2 + … + a5 - (a6 + a7 + … + an)= 2(a1 + a2 + … + a5) - (a1 + a2 + … + an)
= 2S5 - Sn = 50 - (10n - n2)，
∴．
故第n组的第一个数是(n2 - n - 1) + 2 = n2 - n + 1．

9. 设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn．
(1) 若a11 = 0，S14 = 98，求数列{an}的通项公式；
(2) 若a1 ³ 6，a11 > 0，S14 £ 77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
解：(1) 由S14 = 98，得2a1 + 13d = 14，
又a11 = a1 + 10d = 0，解得d = - 2，a1 = 20，
所以数列{an}的通项公式是：an = 22 - 2n．
(2) 由，得，即
由① + ②得- 7d < 11，即，① + ③得，
∴，又d Î Z，∴d = - 1，
从而得10 < a1 £ 12，由a1 Î Z，得a1 = 11或a1 = 12，
故所有可能的数列{an}的通项公式是：an = 12 - n和an = 13 - n．
等比数列

三、等比数列
1．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q表示(q ¹ 0)，即：an + 1∶an = q (q ¹ 0)．
注意条件“从第2项起”、“常数”q．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零．
2．等比数列的通项公式为：an = a1qn - 1 (a1 ¹ 0，q ¹ 0)．
说明：(1) 由等比数列的通项公式可知：当公比q = 1时，该数列既是等比数列也是等差数列；
(2) 由等比数列的通项公式知：若{an}为等比数列，则= qn - m，即an = amqn - m．
3．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．其中G2 = ab，即．
说明：两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项，它们互为相反数．
4．等比数列前n项和公式： (错位相减法)．
说明：(1) a1，q，n，Sn中已知三个可求第四个；
(2) 注意求和公式中是qn，通项公式中是qn - 1，不要混淆；
(3) 应用求和公式时，必要时应分q ¹ 1和q = 1的情况讨论．
5．等比数列的性质：
(1) 等比数列任意两项间的关系：
如果an是等比数列的第n项，am是等比数列的第m项，公比为q，则有an = amqn - m．
(2) 对于等比数列{an}，若m + n = s + t (m，n，s，t Î N*)，则am × an = as × at．
(3) 若{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，m Î N*，那么当q ¹ -1或m为奇数时，Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列．
(4) 等比数列{an}中，an + 1 = anq，an + 12 = anan + 2．
(5) 等比数列{an}中，若公比为q，则
① 当a1 > 0，q > 1或a1 < 0，0 < q < 1时为递增数列；
② 当a1 < 0，q > 1或a1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；
③ 当q < 0时为摆动数列；
④ 当q = 1时为常数列．

10. 求下列各等比数列的通项公式：
(1) a1 = - 2，a3 = - 8； (2) a1 = 5，且2an + 1 = - 3an．
解：(1) a3 = a1q2 Þ q2 = 4 Þ q = ± 2，
∵an = a1qn - 1，∴an = - 2n，或an = (- 2)n．
(2) ∵，又a1 = 5，∴．

11. 已知a1，a2，a3，…，a8是各项均为正数的等比数列，公比q ¹ 1，则( A   )
　 A．a1 + a8 > a4 + a5 B．a1 + a8 < a4 + a5
　 C．a1 + a8 = a4 + a5 D．a1 + a8与a4 + a5的大小关系不确定
【分析】比较两数大小用到作差比较法．
解：a1 + a8 = a1 + a1q7 = a1(1 + q7)，a4 + a5 = a1q3 + a1q4 = a1(q3 + q4)，
a1 + a8 - (a4 + a5) = a1(1 + q7) - a1(q3 + q4)
= a1(1 + q7 - q3 - q4) = a1(1 - q3) (1 - q4)．
∵a1，a2，a3，…，a8的各项均为正数，∴a1 > 0，q > 0．
当q > 1时有q3 > 1，q4 > 1，a1(1 - q3) (1 - q4) > 0；
当0 < q < 1时有q3 < 1，q4 < 1，也有a1(1 - q3) (1 - q4) > 0，
∴对任意正数q ¹ 1都有a1 + a8 - (a4 + a5) > 0，即a1 + a8 > a4 + a5，故选A．

12. (2012浙江理13)设公比为q (q > 0)的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2，则q = ______________．
【答案】
【解析】将S2 = 3a2 + 2，S4 = 3a4 + 2两个式子全部转化成用a1，q表示的式子，
即，两式作差得：a1q2 + a1q3 = 3a1q(q2 - 1)，
∵a1 ¹ 0，q ¹ 0，∴q + q2 = 3(q2 - 1)，又q > 0，∴可得q = 3(q - 1)，解之得：．
13. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6 = 9，则log3a1 + log3a2 + …+ log3a10 = ( B )
A．12 B．10 C．8 　 　D．2 + log35
【解析】log3a1 + log3a2 + …+ log3a10 = log3(a1a2…a10) = log3(a5a6)5 = log395 = 10．

14. 若等比数列{an}的公比q < 0，前n项和为Sn，则S8a9与S9a8的大小关系是( A )
A．S8a9 > S9a8 B．S8a9 < S9a8 C．S8a9 = S9a8 D．不确定
【解析】由等比数列通项公式与前n项和公式得
S8·a9 - S9·a8 = ·a1q8 -·a1q7 =
== - a12q7．
又q < 0，则S8·a9 - S9·a8 > 0，即S8·a9 > S9·a8．

15. (2012辽宁理14)已知等比数列{an}为递增数列，且= a10，2(an + an + 2) = 5an + 1，则数列{an}的通项公式为an = ______________．
【答案】2n
【考点】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力，属于中档题．
【解析】∵= a10，∴ (a1q4)2 = a1q9，∴a1 = q，故an = q n，
∵2(an + an + 2) = 5an + 1，∴2an1 + q2) = 5anq，∴2(1 + q2) = 5q，解得q = 2或q =(舍去)，∴an = 2n．

16. (2011北京理11) 在等比数列{an}中，若，a4 = - 4，则公比q = ；| a1 | + | a2 | + … + | an | = ．
【答案】- 2；．
【解析】由{an}是等比数列得a4 = a1q3，又，a4 = - 4，所以- 4 =q3 Þ q = - 2，
{| an |}是以为首项，以2为公比的等比数列，
| a1 | + | a2 | + … + | an | ．
17. (2011江西理18) 已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1 = a (a > 0)，b1 - a1 = 1，b2 - a2 = 2，b3 - a3 = 3．
(1) 若a = 1，求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{an}唯一，求a的值．
解：(1) 当a = 1时，设{an}的公比为q，
则b1 = 1 + a = 2，b2 = 2 + aq = 2 + q，b3 = 3 + aq2 = 3 + q2，
又{bn}为等比数列，则b1，b2，b3成等比数列，得(2 + q)2 = 2(3 + q2)，即q2 - 4q + 2 = 0，
解得q1 = 2 +，或q2 = 2 -，
所以：an = (2 +)n - 1，或an = (2 -)n - 1．
(2) 设{an}的公比为q，则由(2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2)，得aq2 - 4aq + 3a - 1 = 0，
∵a > 0，∴△ = (4a)2 - 4a(3a - 1) = 4a(a + 1) > 0，故方程有两个不同的实根，
∵{an}唯一，∴方程必有一根为0，
将q = 0代入方程得，．

等差、等比数列综合

18. (2010北京文16) (本小题共13分) 已知{an}为等差数列，且a3 = - 6，a6 = 0．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1 = - 8，b2 = a1 + a2 + a3，求{bn}的前n项和公式．
解：(Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为d．
因为a3 = - 6，a6 = 0，所以，解得a1 = - 10，d = 2，
所以an = - 10 + 2(n - 1) = 2n - 12．
或：由a6 = a3 + 3d，及a3 = - 6，a6 = 0，得d = 2，
an = a6 + 2(n - 6) = 2n - 12．或an = a3 + 2(n - 3) = 2n - 12．
(Ⅱ) 设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2 = a1 a2 + a3 = - 24，b1 = - 8，所以- 8q = - 24，即q = 3，
所以{bn}的前n项和公式为= 4(1 - 3n)．

19. 等差数列{an}中，a4 = 10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．
解：设数列{an}的公差为d，则
a3 = a4 - d = 10 - d，a6 = a4 + 2d = 10 + 2d，a10 = a4 + 6d = 10 + 6d．
由a3，a6，a10成等比数列得a3a10 = a62，
即(10 - d)(10 + 6d) = (10 + 2d)2，整理得10d2 - 10d = 0，解得d = 0或d = 1．
当d = 0时，S20 = 20a4 = 200．
当d = 1时，a1 = a4 - 3d = 10 - 3 ´ 1 = 7，于是= 20 ´ 7 + 190 = 330．

20. (2012广东理19) (本小题满分14分)
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn = an + 1 - 2n + 1 + 1，n Î N*，且a1，a2 + 5，a3成等差数列．
(1) 求a1的值；
(2) 求数列{an}的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数n，有．
【解析】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般．
(1) 解：2Sn = an + 1 - 2n + 1 + 1，2Sn + 1 = an + 2 - 2n + 2 + 1，相减得：an + 2 = 3an + 1 + 2n + 1，
2S1 = a2 - 3 Þ a2 = 2a1 + 3，a3 = 3a2 + 4 = 6a1 + 13，
a1，a2 + 5，a3成等差数列Þ a1 + a3 = 2(a2 + 5) Þ a1 = 1．
(2) 解：a1 = 1，a2 = 5，得an + 1 = 3an + 2n对"n Î N*均成立，
an + 1 = 3an + 2n Þ an + 1 + 2n + 1 = 3(an + 2n)，
∴{an + 2n}是以a1 + 21 = 3为首项，以3 为公比的等比数列，
∴an + 2n = 3n，即an = 3n - 2n．
(3) 证明：当n = 1时，，
当n ³ 2时， Û 3n > 2 ´ 2n Û ．
∴，
综上得：对一切正整数n，有．
或：∵an = 3n - 2n = 3 ´ 3n - 1 - 2n = 3n - 1 + 2(3n - 1 - 2n - 1) ³ 3n - 1，
∴，
∴．

Cxiaojun

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