必修4三角函数的图像与性质1.41.6(含答案).doc

三角函数的图像与性质1.4-1.6
一：知识点
1.基本性质
函数
定义域
值域
最值
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调性
Y=sinx

增区间
减区间
Y=cosx

增区间
减区间
Y=tanx

增区间
2：图像的变化类型
⑴：平移变换
（1）：左右平移 -
（2）：上下平移 -------------------------------------------------
⑵：伸缩变化
（1）：左右伸缩 --------------------------------------------------
（2）：上下伸缩 --------------------------------------------------
3．图像的一般变化顺序
左右平移 左右伸缩 上下伸缩 上下平移
二：例题讲解
1．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
试题分析：由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.
考点：三角函数的周期计算
2．函数，是（ ）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
【答案】C
【解析】
试题分析：函数=cos2x，显然函数是偶函数，函数的周期是T=．故选C．
考点：1.三角函数的周期性；2.函数的奇偶性.
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像(　　)
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】把函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位，得y＝cos 2的图像，即y＝cos(2x＋1)的图像，因此选C.
4． 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则f(－π)等于( )
A. B. C. D.－
【答案】D
【解析】
试题分析：因为将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的函数解析式为.再把函数各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到.所以.
考点：1.三角函数的左右平移.2.三角函数的伸缩变换.
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】C.
【解析】
试题分析：因为函数，
所以将函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图像.故应选C.
考点：函数的图像变换.
6．如图所示是函数的部分图像，则的解析式为.
【答案】
【解析】由图像得函数周期
又，所以，即
由图像知,所以，解得
又，所以
故答案为
【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式.

7．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象( )
A．向右平移个单位　 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 　　 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】
试题分析：观察图象可知，，，∴，.
将代入上式得，由已知得，故.
由知，为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位.
故选．
考点：正弦型函数，函数图象像的平移.
8．已知函数（，为常数)一段图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得到函数的图像，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）；（2），
【解析】
解析：（1）由已知，，，因为，所以
由“五点法”作图，，解得
所以函数的解析式为 6分
（2）将函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为，即，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得
由，得
故的单调递增区间为， 10分.
考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.
9．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，所以由题意得所以因此其减区间满足：即只有，所以选D.
考点：三角函数图像变换
10．若将函数y＝2sin（x＋）的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（ ）
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
【答案】A
【解析】
试题分析：函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，所的函数再向右平移个单位，得到函数，代入得，故是所得函数图像的一条对称轴的方程．
考点：三角函数图像与性质，三角函数图像变化．
11．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）先利用两角和与差的三角函数将式子展开合并，再利用二倍角公式、辅助角公式化简得到，再结合正弦函数的性质，由、可得函数的最小正周期与对称轴的方程；（2）将当成整体，由，利用正弦函数的单调性可得，即的值域.
试题解析：（1）

所以函数的周期
由，得
所以函数图像的对称轴方程为 6分
（2）因为，所以
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减
所以当时，取最大值1
又因为，当时，取最小值
所以函数在区间上的值域为 10分.
考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角恒等变换.
12．设函数。
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值。
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）时，最小值－1，时，最大值．
【解析】
试题分析：（1）函数的最小正周期是，求它的单调区间实质是借助整体法利用的单调区间，只不过要注意和的正负；（2）求函数的最值也是利用整体思想，同样是借助于的最值．
试题解析：（1）， 3分
由， 2分
得， 1分
∴递增区间是． 1分
（2）令，则由可得， 2分
∴当即时，． 2分
当即时，． 2分
考点：(1)三角函数的最小正周期与单调区间；（2）在给定区间上的最值．
13．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式．
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）sin（2）－1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin ，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝.
∴ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝sin 的图象．
∴g(x)＝sin ，∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤，g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－
【答案】
【解析】由题意，
【考点】三角函数的周期.
2．函数图象的两条相邻对称轴间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：函数的最小正周期为π，函数图象的两条相邻对称轴间的距离是函数周期的一半，所以，两条相邻对称轴间的距离为，选B。
考点：余弦型函数的图象和性质。
点评：简单题，注意函数图象的对称轴过图象的最高（低）点。
3．把函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位得到图像的函数解析是 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：由题知，得到的图像的解析式是在函数y＝3sin2x中上加，整理即为，平移问题，注意平移方向加左减右，平移单位是加在上.函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位得到图像的函数解析=.
考点：平移变换
4．要得到函数的图象，只要将函数的图象 ( )
A．向左平移单位 B．向右平移单位
C．向左平移单位 D．向右平移单位
【答案】D
【解析】
试题分析：，因此只要将函数的图象向右平移单位可得函数的图象.
考点：三角函数图像变换.
5．把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：先将原函数图象向右平移个单位得，，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的得，，选C.
考点：三角函数图象的平移变换.
6．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝sin2x的图象沿x轴(　　)
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
【答案】B
【解析】∵y＝cos2x＝sin(2x＋)，∴只需将函数y＝sin2x的图象沿x轴向个单位，即得y＝sin2(x＋)＝cos2x的图象，故选B.
7．为了得到函数的图象，只需把函数的图象 ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
试题分析：由于函数,那么可知只需要把函数的图像向右平移个单位，既可以得到，故选D.
考点：三角函数图像变换
点评：主要是考查了三角函数的图像的变化的运用，属于基础题。
8．已知函数的部分图象如图所示，则的值为
【答案】
【解析】
试题分析：由图像可知，,将点代入，得，.
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.
9．函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为 ( )．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：通过观察可得函数f(x)的周期为.又函数f(x)过点.解得所以函数.将函数向右平移个单位可得.故选A.本题是通过图像了解一些函数的性质.再结合函数的平移得到结论.
考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数的平移.3.待定系数确定函数的解析式.
10．已知函数的部分图象如图所示,则函数的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】
试题分析：由三角函数图象可知，且，得，故，将点 的坐标代入函数，，，由于得所以函数的表达式为.
考点：求三角函数解析式.
11．设函数 ，且其图像相邻的两条对称轴为 ，则
A．的最小正周期为 ，且在 上为增函数
B．的最小正周期为 ，且在 上为减函数
C．的最小正周期为 ,且在 上为增函数
D．的最小正周期为 ，且在 上为减函数
【答案】D
【解析】
试题分析：因为=，由其图像相邻的两条对称轴为 知，且，解得=2，，所以，
其的最小正周期为 ，且在 上为减函数，故选D．
考点：三角变换，三角函数图像与性质
12．已知函数
（1）求的值；
（2）求的递减区间.
【答案】（1），（2）
【解析】
试题解析：==
（1）+2 6分
=
（2）由得
所以，的单调减区间是 10分
（注：未注明者，扣1分.）
考点：1.三角函数的恒等变形.2.三角函数的单调性.
13．已知函数
⑴求的最小正周期及对称中心；
⑵若，求的最大值和最小值.
【答案】（1），；（2），.
【解析】
试题解析：⑴
∴的最小正周期为， 6分
令，则，
∴的对称中心为； 8分
⑵∵ ∴ ∴ ∴
∴当时，的最小值为；当时，的最大值为 14分
考点：三角函数的恒等变换、函数的图象与性质.
14．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最大值2；最小值-1.
【解析】
试题解析：（1）因为

所以的最小正周期为
（2）因为
于是，当时，取得最大值2；
当取得最小值—1．
考点：三角函数的图像与性质.
15．已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1) ;(2) ,
【解析】
试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.
(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.
试题解析： (1)因为所以.所以
(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.
考点：1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.
16．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求的最大值和最小正周期；
（3）若，是第二象限的角，求.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小正周期为；（3）.
【解析】
（1）；
（2），
的最大值为，最小正周期为；
（3）由（1）知，，
所以，即，
又是第二象限角，所以，
所以.
考点：1.辅助角公式；2.三角函数的最值与周期；3.同角三角函数的基本关系；4.二倍角
17．已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）函数的图像可由的图像如何变换得来，请详细说明．
【答案】（1）；
（2）增区间为，减区间为；
（3）详见解析．
【解析】
试题解析：由已知得
．
（1）； 5分
（2）令，解得，所以
增区间为，令，解得
，所以减区间为 10分
（3）变换步骤：（答案不唯一）

考点：1、三角恒等变形；2、三角函数的单调性；3、图像的变换.
18．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若是第二象限角，，求的值.
【答案】（1）；（2）,.
【解析】
试题解答：（1）；
（2）由题设得：，
即，.
若，则，
若，则.
【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.
19．已知函数，其中
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）
【解析】
试题解析：解（1）当时，

因为，从而
故在上的最大值为最小值为-1.
（2）由得，又知解得
考点：三角函数性质
20．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ω＞0)的最小正周期为.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的取值范围．
【答案】（1）(k∈Z)（2）
【解析】(1)f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.因为T＝，所以＝(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin＋.于是由2kπ－≤4x－≤2kπ＋，解得≤x≤＋
(k∈Z)．所以f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)因为x∈，所以4x－∈，
所以sin∈，所以f(x)∈.
故f(x)在区间上的取值范围是
21．已知函数f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx－(其中ω>0)，且函数f(x)的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的单调区间．
【答案】（1）ω＝1（2）单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】(1)因为f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin ，
又因为函数f(x)的周期为π，且ω>0，所以T＝＝＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin .
将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝2sin2 ＋＝2sin 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin(4x－)的图象．
由－＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋ (k∈Z)；
由＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋ (k∈Z)．
故函数g(x)在上的单调递增区间为，单调递减区间为
22．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，
求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题解析： 解 (1)
.
(2)由已知得，
，，
故当即时，；当即时，，
考点：三角函数性质
23．已知最小正周期为
(1).求函数的单调递增区间及对称中心坐标
(2).求函数在区间上的取值范围。
【答案】（1）的单调递增区间为 ，对称中心坐标为；（2）
【解析】
试题分析：（1）=
= (2分)
∵T= ∴ （4分）
∴
令

∴的单调递增区间为 （ 6分）
令，则
的对称中心坐标为 （8分）
（2）∵∴
（10分）

∴在的取值范围是 （12分）
24．已知函数． 的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）已知且，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题解析：
（1）由函数最大值为，得 .由图可得周期 ，由，得
又，及， 得 。
（2），
．
考点：三角函数图像；两角和正弦公式.
25．下图为三角函数(A>0,ω>0,)图象的一段.
(1)求函数的解析式及的值；
2

y

-2
(2)如果函数y＝f (x)－m在(, )内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围.
【答案】、(1)，,
(2)
【解析】略
26．已知函数的图象在轴上的截距为，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和，
（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调减区间。
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知函数的周期为，
，
又函数过点，，又，
，
（2）令，整理得，
所以函数的单调减区间为。
27．函数（其中）的图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象．

（1）求函数的表达式；
（2）若时，函数的图象与直线有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求函数的解析式时，比较容易得出，困难的是确定待定系数的值，常用如下方法;（2）一是由即可求出的值；确定的值，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出；（3）二是代入点的坐标，利用一些已知点坐标代入解析式，再结合图形解出，若对的符号或对的范围有要求，则可利用诱导公式进行变换使其符合要求．
试题解析：（1）由图可知，，，，得，，
由于是五点作图的第三个点，，得，
，把函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，
得到
当，，，
函数的图象与直线有两个不同的交点，在最高点处交点为1个，
因此．
考点：1、利用函数图象求函数解析式；2、图象的交点．

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