平面向量基本定理及经典例题.doc

平面向量基本定理
一．教学目标：
了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；
教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.
二.课前预习
1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x的值为 ( )
A、 B、 C、 D、 2
2.下列各组向量，共线的是 ( )

3.已知点,且,则____
4．已知点和向量=,若=3,则点B的坐标为
三.知识归纳
1. 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使成立。其中叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；
2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量，作基底，则对任一向量，有且只有一对实数，，使、就把_________叫做向量的坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：（0，0）为坐标原点，点的坐标为（，），则向量的坐标为＝______点、的坐标分别为（，），（，），则向量的坐标为＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．
4．线段中点坐标公式：A（，），B（，）线段中点为M，则有：
=________________，M点的坐标为_____________．
5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：；
坐标形式： ．
6. =（x,y）, 则=___________.与共线的单位向量是：
四．例题分析：
例1.(1)、 已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（ ）
A（－14，16） （B）（22，－11） （C）（6，1） （D） （2，4）
(2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量同向的单位向量是 （ ）
（A） (B) (C) (D)
(3)、若=（2，3），=（－4，7），则在方向上的投影为____________。

例2．(1)已知向量，，且，求实数的值。
(2) 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=______

例3．已知，（1）求；（2）当为何实数时， 与平行， 平行时它们是同向还是反向？

例4．如图，平行四边形ABCD中，分别是的中点，为交点，若，，
（1）试以，为基底表示、；（2）求证：A、G、C三点共线。

例5. 如图，平行四边形ABCD中，BE=BA，BF=BD，求证：E，F，C三点共线。（利用向量证明）

五．课后作业：
1．且，则锐角为 ( )

2．平面内有三点，且∥，则的值是 （ ）
1 5
3．如果,是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）
若实数使，则
空间任一向量可以表示为，这里是实数
对实数，向量不一定在平面内
对平面内任一向量，使的实数有无数对
4.下列各组向量中：①② ③ 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
5.若A(-1,-2),B(4,8),且,则C点坐标为　 ；
6.已知，，若平行，则λ= ；
7．已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ _
8．已知，则与平行的单位向量的坐标为 。
9．已知，求，并以为基底来表示。
10.向量,当为何值时，三点共线？

平面向量的数量积
一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的
充要条件和向量数量积的简单运用．
教学重点：平面向量数量积及其应用
二、课前预习：
1．已知向量，如果向量与垂直，则的值为（ ）
2
2.下列命题正确的是 ___________
①； ②； ③； ④
3．平面向量中，已知，且，则向量___ __ ____.
4．已知向量的方向相同，且，则_ ____。
5．已知向量和的夹角是120°，且，，则= 。
三、知识归纳
1.平面向量的数量积：
（1）定义:·，为与的夹角，；
特例：·，2 =·=||2；
叫做向量的________________；
注：
（2）.坐标运算：若=（，），=（，）则·=______________．
2.两个向量的夹角与长度
已知向量=（，），=（，）
（1）两个向量与的夹角：向量形式： =__________________；
坐标形式： =__________________．
注：

（2）向量的长度||2=2 =·其中=；

两点间的距离公式：||=___________________ 其中=（，），=（，）．
3.向量的平行、垂直
如果，两个向量=（，），=（，）那么，
（1）两个向量平行的充要条件是：向量形式：；
坐标形式： ．
（2）两个向量垂直的充要条件是：向量形式：⊥____________；
坐标形式：⊥____________．
四：例题分析：
例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.

例2．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.

例3．1.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥c，则
A．4　　　　 B．3　　　　　 C．2　　　　　　 D．0
2.已知单位向量，的夹角为60°，则__________

3.在正三角形中，是上的点，，则 。
4.已知向量满足，且，，则a与b的夹角为 .

5.在边长为1的正三角形ABC中, 设则__________________．

例4.(1) 已知由向量=（3，2）1，k）确定的△ABC为直角三角形，求k的值。 (2) 设=（3，1），=（－1，2），⊥，∥，试求满足 +=的的坐标（O为原点）。

五．课后作业：
1．平面内有三点，且∥，则的值是 （ ）
1 5
2.已知，，，则与的夹角是（ ）
A、150 B、120 C、60 D、30
3．已知向量，，那么的值是（ ）
1
4．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）
16，0 4，0
5．在中，，的面积是，若，，则

6.在ΔABC中,若,则 （ ）
A、6 B、4 C、-6 D、-4
7．已知向量，与方向相反，且，那么向量的坐标是_ _
平面上有三个点A(1,3),B(2,2) ,C(7,x),若B=,则x=_______

8.已知||＝1，|| ＝，且向量 + 与2互相垂直，则与的夹角=____

9．已知，则与平行的单位向量的坐标为 。

10.(1)已知向量与的夹角是钝角,则k的取值范围是 。
(2)已知向量与的夹角大于,则k的取值范围是 。

11．(1) 已知向量，则在上的投影为____________

(2) 已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。

12．设为平面上四个点，，，，且，=，则＝___________________。

13.已知||＝1，|| ＝,(1)若与平行，求; (2)若与的夹角为600
求｜｜ (3) 向量 + 与互相垂直，求与的夹角.

14．已知、是夹角为60°的两个单位向量，，，求：
(1) ; (2)｜｜与｜｜；（3）与的夹角.

15．向量都是非零向量，且，求向量与的夹角.

相信自己是最棒的！