四川省广安市20182019学年高一(上)期末.doc

四川省广安市2018-2019学年高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知点A（2，1），B（4，3），则向量BA的坐标为（　　）
A. (2,2) B. (-2,-2) C. (2,-2) D. (-2,2)
2. 已知集合A={x|x-2≤0}，B=N，则集合A∩B=（　　）
A. {0,1，2} B. {x|x≤2} C. {1,2} D. {x|0≤x≤2}
3. 已知角α的终边经过点（-4，3），则cosα=（　　）
A. 45 B. 35 C. -35 D. -45
4. 若函数f（x）与函数g（x）=1-xx是相等函数，则函数f（x）的定义域是（　　）
A. (-∞,0) B. (-∞,0)∪(0,1] C. (-∞,0)∪(0,1) D. [1,+∞)
5. 实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，且满足a＜b＜c，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（　　）
A. 2 B. 奇数 C. 偶数 D. 至少是2
6. 下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足“f（x+y）=f（x）•f（y）”的是（　　）
A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 一次函数
7. 已知a=20.3，b=log20.3，c=0.32，则a，b，c的大小关系为（　　）
A. b)=ln|x|x
10. 将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A. 在区间[π12,7π12]上单调递增 B. 在区间[π12,7π12]上单调递减
C. 在区间[-π6,π3]上单调递减 D. 在区间[-π6,π3]上单调递增
11. 已知函数f（x）=x2-ax+5，x＜11+1x，x≥1是R上的减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A. (-∞,2] B. [2,4] C. [2,+∞) D. [4,+∞)
12. 狄利克雷函数是高等数学中一个典型的函数，若f（x）=0,x∈∁RQ1,x∈Q，则称f（x）为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数f（x）给出下列命题：
①对任意的x∈R，都有f（f（x））=1；
②对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；
③对任意的x1∈R，x2∈Q，都有f（x1+x2）=f（x1）；
④对任意的实数a，b，且a＜0，b＜0，都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}．
其中正确结论的序号是（　　）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. sin300°的值为______．
14. 计算：214×80.25+（-76）0+3log32=______．
15. 某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量fx）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式f(x)=5x-2，0≤x≤135⋅(13)x，x＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．（精确到1小时）
16. 在△ABC中，C=π2，AC=1，BC=2，则f（λ）=|2λCA+（1-λ）CB|的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知sinα+cosα=-15．（Ⅰ）求sinα•cosα的值；
（Ⅱ）若α∈（π2，π），求sinα+cos（π-α）的值．

18. 已知f（x）=log2(x+1),x>02x+1,x≤0
（1）作出函数f（x）的图象，并写出单调区间；
（2）若函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范用．

19. 已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设OA=a，OB=b．
（1）用a，b表示向量OC，DC；
（2）若向量OC与OA+kDC共线，求k的值．

20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[π12，π2]，求f（x）的值域．

21. 已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（12）=25
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-1，1）上的增函数
（Ⅲ）解关于实数t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

22. 已知函数f（x）=log4（4x+1）-12x．（Ⅰ）求证：log4（4x+1）-x=log4（1+4-x）
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+a没有交点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=4f(x)+12x+m•2x-1，x∈[0，log23]，则是否存在实数m，使得h（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

四川省广安市2018-2019学年高一（上）期末数学试卷
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵点A（2，1），B（4，3），
∴向量的坐标为=（-2，-2）．
故选：B．
利用向量坐标运算法则直接求解．
本题考查平面向量的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
解：A={x|x≤2}
∴A∩B={0，1，2}．
故选：A．
可解出A，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
3.【答案】D
【解析】
解：∵角α的终边经过点（-4，3），∴x=-4，y=3，r==5．
∴cosα===-，
故选：D．
由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】
解：根据题意，；
要使f（x）有意义，则：；
∴x≤1，且x≠0；
∴f（x）的定义域为：（-∞，0）∪（0，1]．
故选：B．
根据题意即可得出，从而要使得函数f（x）有意义，则满足，解出x的范围即可．
考查函数的定义，相等函数的定义，函数定义域的求法．
5.【答案】D
【解析】
解：由根的存在性定理，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，
则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，
所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．
故选：D．
由根的存在性定理：f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，同理在（b，c）上至少有一个零点，结果可得．
本题考查根的存在性定理，正确理解根的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：在A中，幂函数不满足性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足“f（x+y）=f（x）•f（y）”，故A错误；
在B中，对数函数不满足性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足“f（x+y）=f（x）•f（y）”，故B错误；
在C中，指数函数满足性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足“f（x+y）=f（x）•f（y）”，故C正确；
在D中，一次函数不满足性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足“f（x+y）=f（x）•f（y）”，故D错误．
故选：C．
利用幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质求解．
本题考查幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质的应用，是基础题，解题要要认真审题，熟练掌握幂函数、对数函数、指数函数、一次函数的性质．
7.【答案】D
【解析】
解：∵a=20.3＞20=1，
b=log20.3＜log21=0，
0＜c=0.32＜0.30=1，
∴a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.【答案】D
【解析】
解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；
对于②，向量与是共线的向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，
如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；
对于③，当||=||时，=或=-不一定成立，
如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 
对于④，当•=0时，=或=或⊥，原命题错误；
综上，正确的命题是①，共1个．
故选：D．
根据平面向量的基本概念，对题目中的命题进行分析，判断正误即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．
9.【答案】B
【解析】
解：由图象知函数关于原点对称，函数为奇函数，且当x＞0时，函数为增函数，
A．函数不是奇函数，不满足条件．
B．函数是奇函数，且当x＞0时，函数为增函数，满足条件
C．函数是偶函数，不满足条件．
D．函数是奇函数，当x＞0时，f（x）=，函数的导数f′（x）==，
由f′（x）＞0得1-lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，即函数的单调递增区间为（0，e），不满足条件．
故选：B．
图象知函数关于原点对称，函数为奇函数，且当x＞0时，函数为增函数，结合函数奇偶性和单调性进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和单调性进行判断是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x]．
即y=3sin（2x-）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：A．
直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
11.【答案】B
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=是R上的减函数，
必有，解可得2≤a≤4，
即a的取值范围为[2，4]；
故选：B．
根据题意，由减函数的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数的单调性，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】
解：①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，
当x∈∁RQ，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，
②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），
当x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），
即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，
③当x1∈Q，有x2∈Q，则x1+x2∈Q，此时f（x1+x2）=f（x1）=1；
当x1∈∁RQ，有x2∈Q，则x1+x2∈∁RQ，此时f（x1+x2）=f（x1）=0；
综上恒有f（x1+x2）=f（x1）成立，故③正确，
④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}=R，故④正确，
故正确的命题是①③④，
故选：D．
根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈∁RQ时，对应命题是否成立即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及新定义，正确理解狄利克雷函数的分段函数意义是解决本题的关键．
13.【答案】-32
【解析】
解：sin300°=sin（360°-60°）=-sin60°=-，
故答案为-．
利用诱导公式可得 sin300°=sin（360°-60°）=-sin60°，从而得到结果．
本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为-sin60°，是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】
解：×80.25+（-）0
=（2×8）+1+2
=2+1+2
=5．
故答案为：5．
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15.【答案】4
【解析】
解：本题需分情况讨论：
（1）当0≤x≤1时，5x-2≤0.02，即x-2≤log50.02，x≤2+log50.02∉[0，1]（舍）．
（2）当x＞1时，，即31-x≤0.1，1-x≤log30.1，x≥1-log30.1，即x≥4．
即此驾驶员至少要过 4小时后才能开车．
故答案为：4．
欲求出此驾驶员至少要过多少小时后才能开车，只须求出经过多少时间驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升，利用所给函数解析式，只须解使得f（x）≤0.02的x的最小值即可．
本题主要考查了分段函数的应用，不等式的解法，还考查了分类讨论的思想，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】
解：
=4λ2+4（1-λ）2
=8λ2-8λ+4
对称轴为
当时，有最小值2
故f（λ）的最小值是
故答案为
利用向量模的平方等于向量的平方，将向量模的最值转化为二次函数的最值，利用二次函数最值的求法求出最小值．
本题考查向量模的平方等于向量的平方；将向量模的最值问题等价转化为二次函数最值的求法问题．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵sinα+cosα=-15，
∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinαcosα=125，
∴sinαcosα=-1225；
（Ⅱ）∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925，
又∵α∈(π2，π)，∴sinα＞0，cosα＜0，
则sinα+cos（π-α）=sinα-cosα=75．
【解析】

（Ⅰ）把已知等式两边平方即可求得sinα•cosα的值；
（Ⅱ）求出（sinα-cosα）2的值，结合角的范围开方得答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：（1）画出函数f（x）的图象，如图示：
，
由图象得：f（x）在（-∞，0]，（0，+∞）单调递增；
（2）若函数y=f（x）-m有两个零点，
则f（x）和y=m有2个交点，
结合图象得：1＜m≤2．
【解析】

（1）根据函数f（x）的表达式，求出函数的图象即可；（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象读出即可．
本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．
19.【答案】解：（1）∵A为BC的中点，∴OA=12(OB+OC)，
可得OC=2OA-OB=2a-b，
而DC=OC-OD=OC-23OB=2a-53b
（2）由（1），得OA+kDC=(2k+1)a-53kb，
∵OC与OA+kDC共线，设OC=λ(OA+kDC)
即2a-b=λ(2k+1)a+-53λkb，
根据平面向量基本定理，得2=λ(2k+1)-1=-53λk
解之得，k=34．
【解析】

（1）由A是BC中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到；
（2）根据（1）的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线的充要条件建立关于k的方程组，解之即可得到实数k的值．
本题给出三角形中的向量，求向量的线性表示式并求实数k的值．着重考查了向量加减法的运算法则和平面向量共线的条件等知识，属于基础题．
20.【答案】解：（1）由最低点为M(2π3，-2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T2=π2，
即T=π，ω=2πT=2ππ=2
由点M(2π3，-2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)=-2，即sin(4π3+φ)=-1
故4π3+φ=2kπ-π2，k∈Z∴φ=2kπ-11π6
又φ∈(0，π2)，∴φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6)
（2）∵x∈[π12，π2]，∴2x+π6∈[π3，7π6]
当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取得最大值2；当2x+π6=7π6
即x=π2时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]
【解析】

（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．
本题主要考查本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题．属基础题．
21.【答案】（Ⅰ）解：函数f（x）=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．
所以：f（0）=0
得到：b=0
由于且f（12）=25
所以：12a1+14=25
解得：a=1
所以：f(x)=x1+x2
（Ⅱ）证明：设-1＜x1＜x2＜1
则：f（x2）-f（x1）=x21+x22-x11+x12
=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)
由于：-1＜x1＜x2＜1
所以：0＜x1x2＜1
即：1-x1x2＞0
所以：(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22)＞0
则：f（x2）-f（x1）＞0
f（x）在（-1，1）上的增函数．
（Ⅲ）由于函数是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）
所以f（t-1）+f（t）＜0，转化成f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
则：-1＜t-1＜1-1＜t＜1t-1＜-t
解得：0＜t＜12
所以不等式的解集为：{t|0＜t＜12}
【解析】

（Ⅰ）首先利用函数在（-1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）=0，首先确定b的值，进一步利求出a的值，最后确定函数的解析式．
（Ⅱ）直接利用定义法证明函数的增减性．
（Ⅲ）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：奇函数的性质的应用，利用定义法证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调星球参数的取值范围．属于基础题型．
22.【答案】解：（Ⅰ）证明：log4（4x+1）-x=log4（4x+1）-log44x
=log44x+14x=log4（1+4-x）；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=12x+a没有交点，
则方程log4（4x+1）-12x=12x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．
令g（x）=log4（4x+1）-x=log44x+14x=log4（1+4-x），
则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．
∵g（x）在R上是单调减函数，1++4-x＞1，
∴g（x）＞0．∴a≤0；
（Ⅲ）由题意函数h（x）=4f（x）+12x+m•2x-1=4x+m•2x，x∈[0，log23]，
令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，
∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-m2，
故当-m2≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1＜-m2＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-m2时，函数取最小值-m24=0，解得：m=0（舍去），
当-m2≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件．
【解析】

（Ⅰ）运用对数的运算性质即可得证；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=log4（1+4-x）的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；
（Ⅲ）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．
本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．

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