高中数列知识大总结(绝对全).doc

第一课时 数列

9

知识要点
一、 数列的概念
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.
2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法
数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、 数列的分类
1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列递减数列、常数列、摆动数列。
四、数列通项与前项和的关系
1．
2．
课前热身
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( )
Ａ． B． C． D．
2.在数列中，的值为（　）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( )
A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项
4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是
5．数列的前项和,，则
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…
⑵
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
题型二 应用求数列通项
例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.
⑴
⑵
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
(2)，
⑶

数学门诊
已知是数列的前项和，且满足，其中，又，求数列的通项公式。

课堂演练
1． 若数列的前项的，那么这个数列的通项公式为（ ）
A． B．　　Ｃ．　　　Ｄ．
2．已知数列满足，　（），则（　）
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．
4.已知数列满足
，⑴ ⑵证明：

6.2等差数列

知识要点
1． 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用表示。
2．递推关系与通项公式

由此联想到点所在直线的斜率。

是数列成等差数列的充要条件。
３．等差中项：
若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。
４．前项和公式
；
变式：

是数列成等差数列的充要条件。
5．等差数列的基本性质
⑴反之，不成立。
⑵
⑶
⑷仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：
是等差数列
课前热身：
1．等差数列中，
（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
2．等差数列中，

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

3．等差数列的前项和为，当变化时，若 是一个定值，那么下列各数中也是定值的是）

5．设，分别为等差数列与的前 项和

典例精析
一、等差数列的判定与基本运算
例1：⑴已知数列前项和
①求证：为等差数列；②记数列 的前项和为，求 的表达式。
⑵数列中，是前项和，当时，①求证：是等差数列，
②设，求的前项和
二、公式的应用
例2：设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为
①若，求数列的通项公式
②若，求所有可能的数列的通项公式
三、性质的应用
例3：已知等差数列中，公差>0前项和为，且满足：，
①求数列的通项公式；
②设，一个新数列，若也是等差数列，求非零常数；
③求 （）的最大值
数学门诊
若数列是等差数列，数列满足
（），的前项和为，已知，试问为何值时，取得最大值？并证明你的结论。

课堂演练
1．设是等差数列的前项和，若（）
A．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
２．在等差数列中，　则等于（ ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
3．等差数列中，，则前____项的和最大。
4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
６．设等差数列的前项和为，已知

①求出公差的范围，
②指出中哪一个值最大，并说明理

6.3等比数列

知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。
2． 递推关系与通项公式

3． 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。
4． 前项和公式

5． 等比数列的基本性质，
①反之不真！
②
③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④仍成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列；
②是正项等比数列是等差数列；
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
①定义法：为等比数列；
②中项法：为等比数列；
③通项公式法：为等比数列；④前项和法：
为等比数列。
课前热身
1． 如果-1，，-9成等比数列，那么（ ）
Ａ．=3，=9 B．=-3，=-9 Ｃ． =3，=-9 D．=-3，=-9
2． 在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（ ）

3．

4． 已知数列是等比数列，且
5． 在数列中，
若，则通项=
典例精析
一、 等比数列的基本运算与判定
例1：⑴设首项为，公比为的等比数列的前项和为80，前2项的和为6560，求此数列的首项与公比。
⑵设数列的首项，且

①求
②判断数列是否为等比数列，并证明你的结论。

二、性质运用
例2：⑴在等比数列中，

①求，
②若

例3：已知在函数的图像上，
①证明数列是等比数列，
②设，求 及数列的题项公式，
③记，求数列的前 项和，并证明：

数学门诊：
已知等差数列的首项=1，公差>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项。
①求数列与的通项公式；
②设数列对均有

6.4 数列求和

知识要点
１． 求数列前项和的基本方法
⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和；

公比含字母时一定要讨论。
为无穷递缩等比数列时，
式的推导过程。
⑵求一般数列的前项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前项和的求法。
⑶数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
课前热身
３．等于 ）
4．数列是等差数列，　

５．已知数列中，=1，2+3，=4+5+6，
。

典例精析
一、 错位相减法求和
例1：求和：

二、 裂项相消法求和
例2：数列满足=8， （）
①求数列的通项公式；
②设

数学门诊
已知为数列的前项和，且
①求证：数列为等比数列；
②设，求数列的前项和。

课堂演练
1．数列的前项和为（ ）

2．2×3＋3×4＋4×5＋…＋（＋1）（＋2）等于（ ）

4． 数列满足：=1，，其前项和为，则

5． 数列满足：=1，
，①求通项公式
②求数列前项和

6． 在等差数列中，=1，前项和满足
①求数列的通项公式
②记，求数列的前项和。

8．设数列满足
（）
①求数列的通项公式；
②设，求数列的前项