高三复习圆锥曲线题型总结.doc

直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型（1）
运用的知识：
1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。
2、弦长公式：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者
。
3、两条直线垂直：则
两条直线垂直，则直线所在的向量
4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围
解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线，，，。
由消y整理，得
①
由直线和抛物线交于两点，得

即 ②
由韦达定理，得：。
则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则
为正三角形，
到直线AB的距离d为。

解得满足②式
此时。
题型三：动弦过定点的问题
例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。
从而椭圆的方程为
（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得
是方程的两个根，

则，，
即点M的坐标为，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，
直线MN的方程为：，
令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又，
椭圆的焦点为
，即
故当时，MN过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：(I) ，且BC过椭圆的中心O

又
点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点，
，则椭圆方程为：

将点C代入方程，得，
椭圆E的方程为
(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，
设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：
，即
，
由消y，整理得：
是方程的一个根，

即
同理可得：

＝
＝

＝

则直线PQ的斜率为定值。
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。
解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),

(x1,y1-3)=(x2,y2-3)
即
方法一：方程组消元法
又P、Q是椭圆+=1上的点

消去x2，
可得
即y2=
又－2y22，
－22
解之得：
则实数的取值范围是。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为：，
由消y整理后，得

P、Q是曲线M上的两点
＝
即 ①
由韦达定理得：

即 ②
由①得，代入②，整理得
，
解之得
当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。
总之实数的取值范围是。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。
（1）当轴时，。
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。
由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。

。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
＝
＝

.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则

＝.

=
＝

=
令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线.

解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

＝
又由点到直线的距离公式得.
从而，

（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为
将直线方程y=a代入得

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有

令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.
即抛物线的通径所在的直线。
题型八：角度问题
　例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若,求点P的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为

问题九：四点共线问题
例题9、设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上
解 (1)由题意：
，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，
，
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点总在定直线上
方法二
设点，由题设，均不为零。
且
又 四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得

即点总在定直线上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,

,
①当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
② 当时,.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:

圆锥曲线总结（2）

1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B．
C． D．
（2）方程表示的曲线是_____
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是__ ___

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0且A，B，C同号，A≠B）。
如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____

（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是___

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______

（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ _

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆的离心率，则的值是_ _

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______

（2）双曲线的离心率为，则=

（3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。
如设，则抛物线的焦点坐标为________
5、点和椭圆（）的关系：
（1）点在椭圆外；
（2）点在椭圆上＝1；
（3）点在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______；

（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______

（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条

（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______

（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

（3）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，
若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______

（4）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长
分别是、，则_______

（5）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和
右准线分别于，则和的大小关系为___________

（6）求椭圆上的点到直线的最短距离

（7）直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分
别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____

（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____

（4）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P
的横坐标为_______

（5）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______

（6）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ①＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；②，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②。
如（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________

（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为

（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

（2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
12．你了解下列结论吗？
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。
如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立之间的关系；
如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为

（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____

(3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切则动圆圆心的轨迹为
④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。

（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____

（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（1）设为点P的横坐标，证明；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;
如1. 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、
Q是此椭圆上两点，并且满足求证：向量与共线.

2. 已知点Q位于直线右侧，且到点与到直线的距离之和等于4.
(Ⅰ) 求动点Q的轨迹C；
(Ⅱ) 直线过点交曲线C于A、B两点，点P满足，，又=(,0)，其中O为坐标原点，求的取值范围；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线的方程；若不能，请说明理由．

1.解：（Ⅰ）设，则
，
从而……2分
由于，所以
即 ……………………4分
又已知，
所以
从而椭圆的方程是 …………6分
（Ⅱ）因为的平分线平行，所以
∠PCQ的平分线垂直于x轴. …………7分
由
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC和QC的方程分别为

消去y并整理得 …………9分
∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根.
从而
从而直线PQ的斜率为
= ………………11分
又知A（2，0），B（－1，－1），所以
∴向量共线，
2.解Ⅰ）设，则，即：
，化简得：．
所以，动点Q的轨迹为抛物线位于直线右侧的部分．
（Ⅱ）因为，所以，P为AB中点；又因为，且=(,0)，
所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴焦点．
由题可知：直线与轴不垂直，所以可设直线的方程为，
代入轨迹C的方程得到： （＊）
设，要使得与C有两个不同交点，需且只需
解之得：
由（＊）式得：，所以，AB中点P的坐标为：
，．所以，直线EP的方程为
令得到点E的横坐标为．因为，所以，∈（，－3）．
（Ⅲ）不可能．要使成为以EF为底的等腰三角形，需且只需，
即：，解得：．
另一方面，要使直线满足（2）的条件，需要，
所以，不可能使成为以EF为底的等腰三角形．
6. 圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线过F2与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点.
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的夹角为120°时，求直线的斜率k的值.

解：（1）

∴所求直线方程为.
（2）又
2

7. 已知：过点A（1，0）且互相垂直的两动直线与直线分别相交于E、F两点，O为坐标原点，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线中轨迹C交于M、N两点，且，求k的取值范围.
解：（1）设点P的坐标是（x，y）
………………2分

∴点P轨迹方程是 ………………6分
（2）由
有两交点 ………………8分
………………9分

9. 已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点A、B。
（1）若，求直线AB的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交轴于点，求的取值范围。
解：设直线AB的方程为，点，
把代入抛物线方程可得：
∴，
∴，
（1）∵
∴
∴
又
∴
∴直线AB的方程为。
（2）设线段AB的中点C的坐标为
则直线CQ的方程为：
令，则
又由且得：或
则
∴的取值范围为。
10. 如图，已知的面积为m，且
（I）若，求向量与的夹角的取值范围；
（II）设，且。若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程。

解：（Ｉ）的面积为m，设向量与的夹角为
①
， ②
由①、②得：

即向量与的夹角的取值范围为 6分
（II）如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系

设，P点坐标为（x0，y0）

，
，，

设，当时，任取
有
当时，
，在［2，）上是增函数
当时，为最小，从而为最小，此时P（）
设椭圆的方程为，则

故椭圆的方程为

（答：C）；（答：双曲线的左支）（答：2）
（答：）；（答：）（答：）；（答：）（答：）（答：3或）；（答：）（答：或）；（答：4或）；（答：）；（答：）；（答：(-,-1)）（答：[1，5）∪（5，+∞））；（答：3）；（答：2）；（答：）；（答：相离）；（答：1）；(填大于、小于或等于) （答：等于）；（答：）；（答：①；②）；（答：）；（答：）；（答：）；（答：2）；（答：）；（答：6）；（答：）；（答：）；（答：）；（答：）；（答：8）；（答：3）；（答：）；（答：）；（答：）（答：）（答：或）（答：）；（答：）；（答：）；（答：双曲线的一支）；（答：）；（答：）；（答：）；（答：）；（答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）

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