数列与解析几何综合—点列问题.doc

专题：数列与解析几何综合——点列问

1．如图，直线与相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）比较的大小.

【解析】（Ⅰ）证明：设点Pn的坐标是，
由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：
由Pn+1在直线l1上，得
所以 即
（Ⅱ）解：由题设知 又由（Ⅰ）知 ，
所以数列 是首项为公比为的等比数列.
从而
（Ⅲ）解：由得点P的坐标为（1，1）.
所以

（i）当时，>1+9=10.
而此时
（ii）当时，<1+9=10.
而此时

EX：已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.　（）
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
(3)求证： …… + (2, )
【解析】
(1) 4分
（2）令==14则它的前项的和=13，
= 4分
(3) 2分

4分

2、如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.
(1) 求的值;
P1
P2
P3
Q1
Q2
O
(2) 求数列{}的通项公式;
(3) 求证:当时, .

【解析】
（1）由条件可得,代入曲线得;
(2) ∴点代入曲线并整理得
,于是当时,
即

又当,故
所以数列{}是首项为、公差为的等差数列, ;
(3) 由（2）得，当时，
，
欲证，只需证，即证，
设，
当时，f（n）递增.而当时,有成立.所以只需验证n=2时不等式成立.------ 13分
事实上,.
综上,原不等式成立. ------------------------------------------14分

3、已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。
（I）求的坐标；
（II）求数列的通项公式；
（III）记数列的前项和为，求证：
【解析】
（1）由题意得知，，
（2），，点的坐标为
在曲线上，，
又在曲线上，

（III）……+ ……7分
==

……………………………………11分
，

6．（本小题满分15分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问5分）
过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，
（1）求点P2、P3的坐标.
（2）求数列的通项公式.
（3）记点到直线的距离为，
求证：.
【解析】
（1） …………………………………………4分
（2）曲线C上点处的切线的斜率为，
故得到的方程为 ……………………………………6分
联立方程消去y得：
化简得： 所以：………………8分
由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为－2的等比数 列所以： …………………………………………10分
（3）由（2）知：
所以直线的方程为：
化简得： …………………………………………12分

所以
∴≥ …………………15分

7. 已知曲线C:y=x2(x＞0),过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于交A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1;
（3）求证：≤
【解析】
(1)∵曲线C在点An(an,a
∴切线ln的方程是y-a
由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标an+1，所以，令y=0，得an+1＝ an。
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.∴an=
（2）∵Sn==2(1-),∴anSn=4×(1-).
令t=，则0＜t≤，∴anSn=4t(1-t)=-4(t-)2+1.
∴当t=，即n=1时，-4(t-)2+1有最大值1，即anSn≤1.
（3）∵Sk≥ak,k∈N*，∴akSk≥a≤
∵数列{}是首项为1，公比为4的等比数列.
∴≤=

8、（06山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
(1)证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
(2)设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
(3)记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.
【解析】
（Ⅰ）由已知，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又

又.

9．（本题满分16分）由原点O向曲线引切线，切于不同于O的点P1（x1，y1），再由点P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P2（x2，y2），如此继续下去，得到点列
{Pn(xn，yn)} .
（I）求；
（Ⅱ）求证：数列为等比数列；
（Ⅲ）令， 为数列{}的前项的和，若对恒成立，求的取值范围.
【解析】
(Ⅰ) --------------------------------------1分
过切点P1（x1，y1）的切线方程为
由于切线过原点O，因此
解得 ----------4分
(Ⅱ) 过切点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线方程为
由于切线过点Pn（xn，yn），因此-- ---6分
化简得，∴ -------------------------------8分
即，
∴数列是以为首项，公比为的等比数列。 ---------------9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得=
------------------------------------11分

令，由错位相减可求得
-----------------------------13分
∴=，由单调性得 ∴

要使对恒成立， 故
∴的取值范围是。----------------------------------16分

8