平面向量知识点与考点精.doc

平面向量知识点与2013考点精讲

知识网络

向量的概念
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法
实数与向量的积
向量的数量积
平面向量的基本定理及坐标表示

向量的坐
标运算
物理学中的运用
几何中的运用
两向量平行的充要条件
两向量垂直的充要条件
向量的夹角
向量的模
两点间的距离

第1讲 向量的概念与线性运算
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.
特别提醒：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.
2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b
特殊情况：

对于零向量与任一向量a，有 a a a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
（3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作= a, = b, 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：
1) 表示a - b强调：差向量“箭头”指向被减数
2) 用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a +(-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a - b = a + (-b) a - b
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：
1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2) 重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.

向量★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
3.重难点：.
问题1: 相等向量与平行向量的区别
答案：向量平行是向量相等的必要条件。
问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别
答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
问题3：对于两个向量平行的充要条件：
a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
问题4；向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
【新题导练】
题型1. 概念判析
[例1]判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，，则；
(7)若，，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则
(9) 的充要条件是且；
[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；

【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。
考点一： 向量及与向量相关的基本概念
1.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实
数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
2.【2012高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A、且 B、 C、 D、
【答案】Ｄ
[解析]若使成立，则选项中只有D能保证，故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
考点二: 向量的加、减法
【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
题型2: 结合图型考查向量加、减法
3. (2009)在所在的平面上有一点，满足
，则与的面积之比是( )
A． B． C． D．
[解题思路]： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．
B
C
A
P
5-1-2
【解析】由,得,
即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.
故．
【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
4．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，．
A
B
C
D
E
解析： =+ = －3a+2b，
因D、E为的两个三等分点，
故==－a＋b =，
=＋=3a－a＋b =2a＋b，
=＋=2a＋b－a＋b=a＋b．

考点三: 向量数乘运算及其几何意义
题型1: 三点共线问题
[例4] 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值
[解题思路]：证明存在实数，使得
解析：, 使
得
【指引】
1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．
2、这是一个重要结论，要牢记。
题型2: 用向量法解决几何问题

基础巩固训练
1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）共线向量一定在同一条直线上。 （ ）
（2）所有的单位向量都相等。 （ ）
（3）向量共线，共线，则共线。 （ ）
（4）向量共线，则 （ ）
（5）向量，则。 （ ）
（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 （ ）
2. 在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3．已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、或
4．．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
① ②
③ ④
A、1 B、2 C、3 D、4
5．已知：，则下列关系一定成立的是（ ）
A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线
C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线
6．若则向量的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确定A
B
C
D

综合拔高训练
7．如图，已知，用表示，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：
8．已知+=，-=，用、表示= 。
答案：
9．已知，且，试求t关于k的函数。
答案:

10．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于M点，设，，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。
求证：。
第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
特别提醒：
(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………，
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则=，
=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
∥ (¹)的充要条件是

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：
（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；
（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.
3.重难点：
（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种
问题1：和= (3,－4)平行的单位向量是_________；
错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)
错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一: 平面向量的坐标表示与运算
1.【2012高考广东文3】若向量，，则
A. B. C. D
【答案】A
【解析】选
第3讲平面向量的数量积
★ 知 识 梳理 ★
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量与，作＝，＝，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
特别提醒：向量与向量要共起点。
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq__叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq
特别提醒：
（1） （０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0
（2） 两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1) × = × =||cosq；
2) ^ Û × = 0
3) 当与同向时，× = ||||；当与反向时，× = -||||
特别的× = ||2或
4) cosq = ；
5) |×| ≤ ||||
3．“投影”的概念：如图

定义： _____|b|cosq_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|
4． 平面向量数量积的运算律
交换律： × = ×
数乘结合律： ()× =(×) = ×()
分配律： ( + )× = × + ×
5．平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 所以
6.平面内两点间的距离公式
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么：
7.向量垂直的判定：设，，则
8.两向量夹角的余弦（） cosq =

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
3.重难点：.
(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别
问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。
例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)
（2）向量数量积与实数相关概念的区别
问题2: 表示方法的区别
数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．
问题3:相关概念及运算的区别
⑴ 若a、b为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．
⑵ 若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ1，、夹角为θ2，则由··得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．
⑶ 若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷ 若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量数量积的运算
【名师指引】是一个常用的结论。
例1.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D

考点二 利用数量积处理夹角的范围
题型1：求夹角及其范围
例2【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则
（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为_______
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则.
【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 今年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.
第4讲 平面向量的应用
★ 知 识 梳理 ★
1． 利用向量处理几何问题的步骤为：
（1） 建立平面直角坐标系；
（2） 设点的坐标；
（3） 求出有关向量的坐标
（4） 利用向量的运算计算结果；
S
F
α
（5） 得到结论.

2.平面向量在物理中的应用
如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（6） 那么力F所做的功： W= |F| |S| cosα.
3． 重要不等式：
特别提醒： 常用于求参数的范围

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向.
2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
3.重难点：.
1熟悉向量的性质及运算律；
2能根据向量性质特点构造向量；
3熟练平面几何性质在解题中应用；
4熟练向量求解的坐标化思路
5认识事物之间的内在联系；
6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量在平面几何
题型1. 用向量证明几何题
[例1] 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD
[解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件
解析：证法一：∵＝＋，
＝－，
∴·＝（＋）·（－）
＝｜｜2－｜｜2＝O
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2
∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），
＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）
∴·＝c2－a2－b2＝O
∴⊥ 即 AC⊥BD

【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。
【新题导练】
1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
[解析] 设= b，= a，则=+= b+a, =b+a
∵A, G, D共线，B, G, E共线
A
B
C
E
F
D
G
∴可设=λ，= μ,
则=λ=λ(b+ a)=λb+λa,
= μ= μ(b+ a)=μb+μa,
∵ 即：b + (μb+μa) =λb+λa
∴(μ-λ) a + (μ-λ+)b = 0 ∵a, b不平行，
∴

2．已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.
[解析]
由已知得，
化简得,这就是动点P的轨迹方程.

考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用
题型1: 与函数综合题
例3【2012高考陕西文7】设向量=（1.）与=（-1 2）垂直，则等于 （ ）
A B C .0 D.-1
【答案】C.
【解析】∵向量与垂直，∴，即，∴．
∴．故选C．

考点三: 平面向量在物理中的应用
题型1: 用向量解决物理问题

[例4] 设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.

[解题思路]：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.

解析：将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2，则| v1|=| v0|cos,
| v2|=| v0|sin , 由物理学知识可知，
炮弹在水平方向飞行的距离S =| v1|·t=| v0|cos·t（t是飞行时间） ①
炮弹在垂直方向的位移是0=| v2|·t-gt2（g是重力加速度） ②
由②得t=,③代入①得=
由于| v0|一定，所以当=45°时，S有最大值.
故发射角=45°时，炮弹飞行的距离最远.
[例5] 某人骑车以每小时公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.

[解题思路]：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”
P
B
A
O
v
v-2a

解析： 设表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
无风时此人感到风速为-，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v - ，设= -，= -2
∵+= ∴= v - ，
这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵+= ∴= v -2，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：ÐPBO = 45°, PA^BO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB = 即：v | =
∴实际风速是的西北风

【名师指引】加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
第八章 综合运用用解题思路
1.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
【答案】D
考点：平面向量的垂直。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量，，
则。
解答：非零向量。

.【2012高考北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。
【答案】1，1
【解析】1、+0＝1
当时有最大值1
2根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，
，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．
17.【2012高考安徽理14】若平面向量满足：，则的最小值是。
【答案】
【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。
【解析】

练习：
1、【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．

2、【2012高考天津文科8】在△ABC中， A=90°，AB=1，设点P，Q满足=， =(1-)， R。若=-2，则=
（A） （B） C） （D）2

3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .

4、【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是
19 / 19