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曲线运动经典习题归类
渡河问题
1.汽艇在宽为400 m、水流速度为2 m/s的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s.求：
（1）汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？
（2）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？
（3）若水流速度为4 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则船能过河的最短航程是多少？

绳联物体的速度问题
甲
乙
α
v1
v2

1.如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，
甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2

2.如图所示人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（　　）
A.匀速运动 B.减速运动
C.加速运动 D.先加速、后减速运动

平抛运动问题
1.若质点以V0正对倾角为θ的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?
）θ
v0
θ
y
x
解析：(1)连接抛出点O到斜面上的某点O1 ，其间距OO1为位移大小。当OO1垂直于斜面时位移最小。
(2)分解位移：利用位移的几何关系可得
。
2.如图所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？

解析：取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图所示，在轴上，小球做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以有

当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。
由①式可得小球离开斜面的最大距离
当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为
3.从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为和，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为？
解析：设两小球抛出后经过时间，它们速度之间的夹角为，与竖直方向的夹角分别为和，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图所示，由图可得和
又因为，所以
由以上各式可得，解得
类平抛运动分析
1.在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2) 质点经过P点时的速度大小。
[解析]　质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动。
由牛顿第二定律得：a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，yP＝at2
又tan α＝
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m。
(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝＝5 m/s。
[答案]　(1)3 s　xP＝30 m，yP＝22.5 m　(2)5 m/s
2.如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：

(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
解析：(1)沿斜面向下的方向有mgsin θ＝ma l＝at2 联立解得t＝ 。
(2)沿水平方向有b＝v0t v0＝＝b 。
(3)物块离开Q点时的速度大小v＝＝ 。
平抛运动的综合运用
1.如图所示，在距地面高为H＝45 m处，有一小球A以初速度v0＝10 m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，A、B均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)A球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；
(2)A球落地时，A、B之间的距离．
解析：(1)根据H＝gt2得t＝3 s，由x＝v0t　得x＝30 m.
(2) 对于B球，根据F合＝ma，F合＝μmg，可得加速度大小a＝5 m/s2.判断得在A落地之前B已经停止运动，xA＝x＝30 m，由v＝2axB　xB＝10 m，
则Δx＝xA－xB＝20 m 答案：(1)3 s　30 m　(2)20 m
2.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy＝v0tan 53°，v＝2gh，则vy＝4 m/s，v0＝3 m/s.
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m.
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin 53°，初速度v＝5 m/s.则
＝vt2＋at，解得t2＝2 s．(或t2＝－ s不合题意舍去)
所以t＝t1＋t2＝2.4 s. 答案：(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)2.4 s
3.如图所示，在距地面80 m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s依次放下a、b、c三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b物体时飞机的速度大小；
(3)b、c两物体落地点BC间距离．
解析：(1)飞机水平方向上，由a经b到c做匀加速直线运动，
由Δx＝aT2得，a＝＝＝10 m/s2.
(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有vb＝＝50 m/s.
(3)设物体落地时间为t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC间距离为：BC＝bc＋vct－vbt，
又vc－vb＝aT，得：BC＝bc＋aTt＝95 m. 答案：(1)10 m/s2　(2)50 m/s　(3)95 m
4.如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°，表面光滑的斜面体，物体A以v1＝6 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中。A、B均可看作质点(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。求：

(1)物体A上滑到最高点所用的时间；
(2)物体B抛出时的初速度v2；
(3)物体A、B间初始位置的高度差h。
解析：(1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ＝ma
代入数据得：a＝6 m/s2
设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式：
0＝v1－at
解得：t＝1 s
(2)物体B平抛的水平位移：x＝v1tcos 37°＝2.4 m
物体B平抛的初速度：v2＝＝2.4 m/s
(3)物体A、B间的高度差：h＝hA⊥＋hB＝v1tsin 37°＋gt2＝6.8 m
答案：(1)1 s　(2)2.4 m/s　(3)6.8 m
5.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
①若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1．
②若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求的大小．
③若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
【解析】①设球飞行时间为t1，根据平抛运动的规律:,
解得
②设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动的规律，有，
，
且， 由以上各式得
③如图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动的规律，
得，，且，
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，
有，，由几何关系知，联式，解得
【答案】① ② ③
6.《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒．某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若h1＝0.8 m，l1＝2 m，h2＝2.4 m，l2＝1 m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明．(取重力加速度g＝10 m/s2)

解析　(1)设小鸟以v0弹出后能直接击中堡垒，则

t＝ ＝ s＝0.8 s
所以v0＝＝ m/s＝3.75 m/s
设在台面的草地上的水平射程为x，则

所以x＝v0 ＝1.5 mL0＝20.85 m，由于传送带足够粗糙，假设人落到传送带上后瞬间相对传送带静止，经过一个Δt＝0.5 s反应时间后，立即以a＝2 m/s2，方向向右的加速度跑至传送带最右端。

(1)若传送带静止，选手以v0＝3 m/s水平速度从平台跃出，求开始跃出到跑至传送带右端经历的时间；
(2)若传送带以u＝1 m/s的恒定速度向左运动，选手若要能到达传送带右端，则从高台上跃出的水平速度v1至少多大？
解析：(1)H＝gt12/2，t1＝ ＝0.6 s
x1＝v0t1＝1.8 m
L0－(x1－s0)＝at22/2，t2＝4.5 s
t＝t1＋t2＋Δt＝5.6 s
(2)选手以水平速度v1跃出落到传送带上，先向左匀速运动后向左匀减速运动，刚好不从传送带上掉下时水平速度v1最小。则v1t1－s0＝uΔt＋
v1＝3.25 m/s。答案：(1)5.6 s　(2)3.25 m/s
8.如图所示，一物体M从A点以某一初速度沿倾角α=37°的粗糙固定斜面向上运动，自顶端B点飞出后，垂直撞到高H=2.25m的竖直墙面上C点，又沿原轨迹返回．已知B、C两点的高度差h=0.45m，物体M与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2．试求：
（1）物体M沿斜面向上运动时的加速度大小；
(2)物体返回后B点时的速度；

（3）物体被墙面弹回后，从B点回到A点所需的时间．
解析：（1）物体M沿斜面向上运动时的加速度为a，由牛顿第二定律有：                          代入数据可得                                              
（2）物体从C点到B点做平抛运动，设落至B点时在竖直方向的速度为vBy，
由平抛运动规律有                 
代入数据可得                                              
由题意知，物体落在B点后刚好沿斜面下滑，则它落至B点时的速度方向沿斜面向下，与水平方向的夹角为37°                                            大小为                                              
（3）设物体从B点返回到A点过程中的加速度大小为a′，时间为t′，由牛顿第二定律得

代入数据可得                                                
由运动学公式                    
代入数据可得       （-3s舍去）   
传送带问题
a
b
c
d

1.如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
分析与解：因va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
多解问题
1.如图，在同一水平高度上有A、B两物体，质量分别为m、M。A从图示位置开始以角速度ω绕O点在竖直平面内沿顺时针方向作匀速圆周运动，轨道半径为R。同时B物体在恒力F作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x轴正方向做直线运动求：
A
O
（1）A物体运动到什么位置时，它的速度方向可能B物体相同？
（2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力F应多大？
（3）当两物体速度相同时，B物体的最小位移为多少？

o
B
R
h
vo
A

2：如图所示：在半径为R的水平圆板绕中心轴匀速转动，其正上方高h处的A点水平抛出一个小球。已知当圆板的半径OB转到与小球的初速度方向平行时，将小球开始抛出，不计空气阻力，如果小球与圆板只碰一次且落点为B，则小球的初速度多大？圆板转动的角速度ω应为多少？

O
B
F
m
r
M
A
ω
3：如图所示：B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体(质量为M)在竖直面内由图示位置开始做半径为r,角速度为ω的匀速圆周运动，求力F多大时可使A、B两个物体在某些时刻的速度相同？

临界问题
M
r
o
m

1.如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g＝10m／s2）
解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而M与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。
此时，对M运用牛顿第二定律。
有 T－fm＝Mω12r 且T＝mg解得 ω1＝2.9 rad／s
当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。再对M运用牛顿第二定律。
有 T＋fm＝Mω22r 解得　　ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是：　2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
H
V
2.如图所示，长度为L=1.0m的绳，栓着一质量m=1kg小球在竖直面内做圆周运动，小球半径不计，已知绳子能够承受的最大张力为74N，圆心离地面高度h=6m ，运动过程中绳子始终处于绷紧状态求：
（1）分析绳子在何处最易断，求出线断时小球的角速度。
（2）绳子断后小球平抛运动的时间及落地点与抛出点的水平距离。

3.一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，求：
（1） 当V＝时绳对物体的拉力；
（2）当V＝时绳对物体的拉力。
解：本题涉及临界条件是：物体对锥面压力为零时，物体的速度值。如图，物体受重力mg、锥面的支持力N、绳的拉力T三个力作用，将三力沿水平方向和竖直方向分解，由牛顿第二定律得：Tsinθ－Ncosθ＝m
Tcosθ－Nsinθ＝mg
由两式得：N＝mgsinθ－m 可见，θ一定，V越大，N越小，当V增大到某值V0时，N＝0时，即V0＝ 因N为支持力，不能为负值，故当V>V0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值α。
（1） 当V＝时VV0物体飞离锥面此时物体只受重力mg和拉力T作用，设绳与轴线的夹角为α: Tsinα＝ Tcosα＝mg
将V代入两式消去α可得 2T2－3mgT－m2g2T＝0 解取合理值 T＝2mg
4.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为和,筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为的小物块，求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

【解析】物块受力如图所示
①由平衡条件得　　
其中
得摩擦力为　
mg
FN
ma
θ
支持力为　
②这时物块的受力如图所示
由牛顿第二定律得　　
得筒转动的角速度为　
5.游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的8位同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处接到，已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，(不计人和吊篮的大小及重物的质量)。求：

(1)接住前重物下落运动的时间t
(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v
(3)乙同学在最低点处对地板的压力FN
解析：(1)由2R＝gt2，解得t＝2 。
(2)v＝，s＝，
联立解得：v＝π。
(3)由牛顿第二定律，F－mg＝m，
解得F＝mg。 由牛顿第三定律可知，乙同学在最低点处对地板的压力大小为F′＝mg，方向竖直向下。
答案：(1)2 　(2)π　(3)mg，方向竖直向下
6.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.

(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．
审题突破　当小物块受到的摩擦力恰好为零时，受到什么力的作用？向心力是多少？当转速稍增大(或稍减小)时所需的向心力如何变化？
解析　(1)对小物块受力分析可知：
FNcos 60°＝mg
FNsin 60°＝mR′ω
R′＝Rsin 60°
联立解得：ω0＝
(2)由于0＜k≪1，
当ω＝(1＋k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下．由
受力分析可知：
FN′cos 60°＝mg＋fcos 30°
FN′sin 60°＋fsin 30°＝mR′ω2
R′＝Rsin 60°
联立解得：f＝mg
当ω＝(1－k)ω0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上．由受力分析和几何关系知．
FN″cos 60°＋f′sin 60°＝mg
FN″sin 60°－f′cos 60°＝mR′ω2
R′＝Rsin 60°
所以f′＝mg.
答案　(1)ω0＝
(2)当ω＝(1＋k)ω0时，f沿罐壁切线向下，大小为mg
当ω＝(1－k)ω0时，f沿罐壁切线向上，大小为mg
7.如图为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成。物品从A处无初速放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的水平转盘，设物品进入转盘时速度大小不发生变化，此后随转盘一起运动(无相对滑动)到C处被取走装箱。已知A、B两处的距离L＝10 m，传送带的传输速度v＝2 m/s，物品在转盘上与轴O的距离R＝4 m，物品与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25。取g＝10 m/s2。

(1)物品从A处运动到B处的时间t；
(2)质量为2 kg的物品随转盘一起运动的静摩擦力为多大？
解析：(1)物品先在传送带上做初速度为零的匀加速直线运动；
a＝μg＝2.5 m/s2。 x1＝＝0.8 m t1＝＝0.8 s
之后，物品和传送带一起以速度v做匀速运动；t2＝＝4.6 s
所以t＝t1＋t2＝5.4 s
(2)物品在转盘上所受的静摩擦力提供向心力F＝m 解得F＝2 N
答案：(1)5.4 s　(2)2 N
8.如图所示，有一内壁光滑的试管装有质量为1 g的小球，试管的开口端封闭后安装在水平轴O上，转动轴到管底小球的距离为5 cm，让试管在竖直平面内做匀速转动。问：

(1)转动轴达某一转速时，试管底部受到小球的压力的最大值为最小值的3倍，此时角速度多大？
(2)当转速ω＝10 rad/s时，管底对小球的作用力的最大值和最小值各是多少？(g取10 m/s2)
解析：(1)转至最低点时，小球对管底压力最大；转至最高点时，小球对管底压力最小，最低点时管底对小球的支持力F1应是最高点时管底对小球支持力F2的3倍，即
F1＝3F2
根据牛顿第二定律有
最低点：F1－mg＝mrω2
最高点：F2＋mg＝mrω2
由得ω＝ ＝ rad/s＝20 rad/s④
(2)在最高点时，设小球不掉下来的最小角速度为ω0，
则mg＝mrω02 ω0＝ ＝ rad/s＝14.1 rad/s
因为ω＝10 rad/s<ω0＝14.1 rad/s，故管底转到最高点时，小球已离开管底，因此管底对小球作用力的最小值为F′＝0
当转到最低点时，管底对小球的作用力最大为F1′，
根据牛顿第二定律知F1′－mg＝mrω2，则F1′＝mg＋mrω2＝1.5×10－2 N。
答案：(1)20 rad/s　(2)1.5×10－2 N　0
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