解三角形总结与经典题型.doc

解三角形知识点小结
一、知识梳理
1.内角和定理：
在△ABC中，,,,在三角形中大边对大角，反之.
，（在上单调递减）
面积公式:1S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,(2)S=pp-ap-b(p-c),其中p=a+b+c2 ,
(3)S=12a2sinBsinCsin(B+C).(4)S=12a+b+cr，r是内切圆半径5S=abc4R=2R2sinAsinBsinC,R是外接圆半径
等式： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一： asinA=bsinB=csinC=2R (解三角形的重要工具),形式二： a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC (边化正弦)
形式三：a:b:c=sinA:sinB:sinC（连比的性质）,形式四： sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R（正弦化边）
形式五： asinA=bsinB=csinC=a+bsinA+sinB=a+b+csinA+sinB+sinC(合比性质)
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：,,(遇见二次想余弦)
形式二： cosA=b2+c2-a22bc, cosB=a2+c2-b22ac, cosC=b2+a2-c22ab
形式三：a2=(b+c)2-2bc(1+cosA),b2=a+c2-2ac(1+cosB),c2=(a+b)2-2ab(1+cosC),
形式四：a2-2ccosBa+c2-b2=0
形式五：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
4.射影定理：b=acosC+ccosA,
二、例题讲解
1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．120°
2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或120° D． 30°或150°
4、在△ABC中，已知，则角A为（ ）
A． B． C． D． 或
5、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
6、在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． 32 B．34 C．32或3 D．32 或34
7、在△ABC中，A=π3, BC=3,则△ABC的周长（ ）
A.43 sinB+π3+3 B. 43 sinB+π6+3 C. 6sinB+π3+3 D. 6sinB+π6+3
8、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）
A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米
9、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
10. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若C=1200,c=2 a,则（
A. a< b B.a>b C.a=b D.a,b的大小关系不能确定
11. 在△ABC中，B=45°,C=60°，c=1,则最短边的长是（ ）
A. 63 B. 62 C. 12 D. 22
12、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①
② ③④A:B:C=4:5:6成立的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13、已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 .
14、在△ABC中，有则A=_________.
15、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝ ；b＝ .
16、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是 .
三、解答题
17、在△ABC中，已知，A＝45°,在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C

18、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。
19、设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .
(Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求的值.

20、在△ABC中，若.
(1)判断△ABC的形状；
(2)在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。

21、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；（II）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长.

22、已知向量,函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积.

1. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若C=1200,c=2 a,则（ ）
A. a< b B.a>b C.a=b D.a,b的大小关系不能确定
2. (江苏卷)在△ABC中，A=π3, BC=3,则△ABC的周长（ ）
A.43 sinB+π3+3 B. 43 sinB+π6+3 C. 6sinB+π3+3 D. 6sinB+π6+3
3. 在△ABC中，若a2+b2=2c2,则cosC的最小值（ ）
A. 32 B. 22 C. 12 D. - 12
4. 如果∆A1 B1C1三个内角的余弦值等于∆A2 B2C2的三个内角的正弦值,那么（ ）
A. ∆A1 B1C1与∆A2 B2C2都是锐角三角形 B. ∆A1 B1C1与∆A2 B2C2都是钝角三角形
C. ∆A1 B1C1是锐角三角形，∆A2 B2C2是钝角三角形D.∆A2 B2C2是锐角三角形，∆A1 B1C1是钝角三角形.
5. 在△ABC中，a=x,b=2,B=45°,若这个三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A. x>2 B. x<2 C. 2． D．
7、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（ ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
8、若△的三个内角满足，则△ （ ）
A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
9.(2008湖北)在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .
10、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
11．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________.
12、（2011山东文数）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（I）求的值；（II）若cosB=，

13．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b=a+c，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状．

14. 已知的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，．(1)求的值； (2)求的值．

15. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)已知向量,函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积.

16. 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2