弹塑性力学.pptx

哈工大,土木工程学院,#,01,绪论,哈工大,土木工程学院,1/27,土木工程学院,工,程力,学,学科组,HARBIN INSTITUTE OF,TECHNOLOGY,弹塑,性力学,01,绪论,第,1,节,弹,塑,性力,学,任务,弹塑性力学的定义,：,弹塑性力学是固体力学的一个重,要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布 规律和变形规律的一门学科。,对工科来说，弹性力学的任务，,和,材料力学、结构力 学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的 应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定 性，并寻求或改进它们的计算方法。,哈工大,土木工程学院,2/27,01,绪论,弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与 塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。,当外部因素作用时，固体发生变,形,，如果当外因去 掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）,具有弹性 性质,，,单值，,具有可逆性,；,当外部因素去掉时，变形体未能恢复原状并存在永 久变形，说明固体已,进入塑性阶段,，,曲线不是单值 函数，,没有可逆性,。,当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另 一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起，称材料处于,弹塑性状态,。,哈工大,土木工程学院,3/27,01,绪论,研究,的,对,象,：,实际物体经过抽象处理（进行一定的假,设）后弹塑性体。材料力学和结构力学研究的对象是杆系,结构（一维问题），具有局限性。而弹塑性力学研究对象 也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程 技术问题需求的物体。所以弹塑性理论基本方程要复杂的 多，具有一般性。,哈工大,土木工程学院,4/27,01,绪论,弹塑性力学的任务：,根据对弹塑性体的实验观察结,果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。,1,建立求解固体的应力、应变和位,移,分布规律的基本方程 和理论；,2,给出初等理论无法求解的问题的,理,论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；,3,确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济,效益；,4,为进一步研究工程结构物的强度,、,振动、稳定性、断裂,等力学问题，奠定必要的理论基础。,哈工大,土木工程学院,5/27,01,绪论,弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同,。弹塑性力学在 微观层面研究应力和应变规律；而材料力学有时还要研究 材料蠕变、疲劳以及断裂破坏现象，研究杆件的拉、剪、弯、扭作用下的应力和变形是材料力学的主要内容。,在研究方法上的不同,。材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略 和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而 所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。,哈工大,土木工程学院,6/27,01,绪论,第,2,节,基本假设和基本规律,实际问题由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体 的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素，使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。,基本假设：,连续性假设：,将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些 物理量可以表示成坐标的连续函数。,均匀性假设：,假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在 物体内各点、各方向具有相同的物理性质。,小变形假设：,在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于 物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。,哈工大,土木工程学院,7/27,01,绪论,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,小变形假设说明应变,(,包括线应变与角应变,),均远远小于,1,。根据这一假定：,（,1,）在弹塑性体产Th变形后建立平衡方程时，可以,不考虑因变形而引起的力作用,线,方向的改变；,（,2,）在研究问题的过程中可以略去,相,关的二次及二 次以上的高阶微量；,哈工大,土木工程学院,8/27,01,绪论,基本规律：,完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或 应满足的三方面的条件）：,静力平衡规律：,固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方程。,几何连续规律：,要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物 体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为 微分方程。,物理,(,本构,),关系：,应力,(,内力,),与应变,(,变形,),之间的关系根据 材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。,平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力 学与弹性力学的主要区别在于本构方程,哈工大,土木工程学院,9/27,01,绪论,第,3,节,弹塑性力学的研究方法,弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们在 分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问 题的基本方法上各不相同。,(1),受力分析及静力平衡条件,(,力的分析,),(3),受力与变形间的本构关系,(,物理分析,),(2),变形分析及几何相容条件,(,几何分析,),哈工大,土木工程学院,10/,27,01,绪论,a,、研究方法较简单粗糙；,b,、涉,及数学理论较简单；,材料力学研究问题的基本方法：,选一维构 件整体为 研究对象,变形前，在某表 面绘制标志线；变形后，观察总 结构件表面变形,的规律,做出平截面,假设，经三,方面分析，,解决问题,c,、材料力学的工程解答一般为近似解。,哈工大,土木工程学院,11,/,27,01,绪论,1,、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密,性和普遍适用性为特点；,2,、弹塑性力学的工程解答一般认为,是,精确的；,弹塑性力学研究问题的基本方法：,以受力物体,内某一点,（单元体）为研究对象,单元体,的受力,应,力理论；单元体,的变形,变,形几何理论；,单,元体受力与变形间,的关,系,本构理论；,建立起普遍适 用的理论与解 法,3,可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。,哈工大,土木工程学院,12/,27,01,绪论,工程力学一般研究方法,工程力学解决问题的一般研究方法类似于,一般科学研究的普遍方法，可归纳为：,对系统,进行抽,象与简,化，建,立力学模型,与已知,结论相,比较，,或由实,验进行验证,提出问题，,利用力学原理,确认或进一步,选择有关的,进行分析、推,改善模型，深,研究系统,理，得出结论,化认识,哈工大,土木工程学院,13/,27,01,绪论,按照方程中保留的未知量，求解方法可分为,应力法（以,应力,为未知量）,位移法（以,位移,为未知量）,混合法（以,应力,+,位移,为未知量）,精确解法：采用数学分析的手段求得精确解 近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法 数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等,哈工大,土木工程学院,14/,27,01,绪论,第,4,节,弹塑性力学的发展梗概,通过实验探索物体的受力与变形之间的关系：,1678,年英国科学家虎克,(R.Hooke),提出,了固体材料的弹性 变形与所受外力成正比,虎克定律。,1687,年，牛顿确立运动三大定律。,弹性力学的理论基础建立期,1822,1828,年，柯,西发表了一系列论,文,，明确提出了应力,和应变的概念，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义虎克定律；,1838,年，格林,用能量守,恒,定律证明了各向异性体有,21,个独,立的弹性系数；,1838,年，汤母,逊又用热,力,学第一定律和第二定律证,明,了同,样的结论，同时进一步,证明了各向同性体有两个独立的弹性,系数。,15/,27,哈工大,土木工程学院,01,绪论,线性各向同性体弹性力学的发展时期：,1850,年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题；,1855-1856,年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法；,1862,年，艾里解决了弹性力学的平面问题；,19,世纪,7,0,年代，建立了各种能量原理，并提出,了,这些原,理的近似计算方法。,弹性力学分支及相关边缘学科的形成和发展时期：,1907,年，卡门薄板的大挠度问题；,1939,年卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；,1937-1939,年，莫纳汉和毕奥提出了大应变问题；,哈工大,土木工程学院,16/,27,01,绪论,弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期,(,续,),：,1,9,4,8,-1,9,57,年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度问题；,1954,年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义 余能原理,;1955,年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原理，后来称胡海昌,-,鹫津久一郎变分原理。,在这一时期，薄壁构件和薄壳构件的线性理论有了较大发 展，还形成了诸如厚板和厚壳理论、各向异性和非均匀体的弹 性力学、热弹性力学、粘弹性理论、水弹性理论以及气动弹性 力学等新的分支和边缘学科；相继提出了诸如差分法、有限单 元法、边界元法、半解析数值法以及加权残值法等数值方法和,半解析半数值的方法。,哈工大,土木工程学院,17/,27,01,绪论,弹塑性力学发展时期：,1773,年，,Co,u,l,omb,提出,C,o,u,l,omb,屈服,准则，后来推广,为,Mohr-Coulomb,屈服准则。,1857,年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移,面的概念。,1903,年，,Kotter,建立了滑移线方法。,1929,年,，,F,elle,n,i,us,提出了极限平衡法。,19,世纪,50,年代初，,Drucker,提出,Drucker,塑性公设，对稳定,材料，证明了塑性应变增量与屈服面的正交性，并提出相关,联流动规则的概念。,1952,1955,年，,Drucker,和,Prager,等人发展了极限分析方,法。,哈工大,土木工程学院,18/,27,01,绪论,1957,年,，,D,r,u,c,k,e,r,等提,出了静水压力会使岩土材料产生屈,服的概念。,1958,1963,年，,Roscoe,提出了土的临界状态概念，并建,立了剑桥模型，从理论上阐明了正常固结粘土和微超固结粘,土土体弹塑性变形特性，开创了建立土体的实用模型的新阶,段。,1969,年,，,Ro,sc,o,e,等,人出版了临界状态土力学专著,，,这,是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的,实用模型。,1982,年，,Desai,等人也出版了一本工程材料本构定律,专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩,土塑性力学。,哈工大,土木工程学院,19/,27,01,绪论,1982,年，,Zienkiewicz,提出了广义塑性力学的概念，指出岩,土塑性力学是传统塑性的推广。,20,世纪,80,年代的国内，清华模型、“南水”模型及其他双 屈服面模型和多重屈服面相继出现。,阐明了应力、应变的概念和理论；,弹,性,力,学,和,弹,塑,性力,学的,基本,理,论,框,架得以确立,。,哈工大,土木工程学院,20/,27,01,绪论,现代,力,学,的,发,展,及其,特,点,材料与对象,：金属、土木石等,新型复合材料、高分子材料、,结构陶瓷、功能材料。,尺 度,：宏观、连续体,含缺陷体，细、微观、纳米尺度。,实验技术,：,电、光测试实验技术,全息、超声、,光纤测量，及实验装置的大型化。,1,、现代力学的发展,哈工大,土木工程学院,21/,27,01,绪论,应用领域：航空、土木、机械、材料,生命、微电 子技术等。,设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设,计、刚度设计,损伤容限设计、结构优化,设计、耐久性设计和可靠性设计等。,设计目标：保证结构与构件的安全和功能,设计,制造,使用,维护的综合性分析,与控制，功能,安全,经济的综合性评价，自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复）的智能结构。,哈工大,土木工程学院,22/,27,01,绪论,引进新的科学技术成果，内容更加丰富：,新材料复合材料、聚合物等；,新概念失效、寿命等；,新理论损伤、混沌等；,新方法数值方法、工程力学建模方法。,哈工大,土木工程学院,23/,27,01,绪论,2现代力学的特点,与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科 相互结合与渗透。,计算机应用,：,计算力学,+,计算机应用,解决复杂、,(60,年代,),困难的工程实际问题。,使工程结构分析技术；（结合CAD技术）,监测、控制技术（如振动,监,测、,故,障诊,断,）；工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；,广泛应用至各工程领域。,材料设计,：,按所要求的性能设计材料。,(90,年代,),哈工大,土木工程学院,24/,27,01,绪论,智能结构：,90,年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面,向,21,世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。,Th物力学：,(70,年代冯元祯博士,),生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系 统临床问题和生物医学工程等。“没有生物力学，就不能很好地了解生理学。”,哈工大,土木工程学院,25/,27,01,绪论,参考资料：,应用弹,塑性力学,徐秉业,弹性力学（上、下册）,徐芝伦,弹性力学 塑性力学,杨桂通 夏志皋,工程弹塑性力学,岩土塑,性力学原理,弹性理论,弹性理论基础,孙炳楠等 郑颖人 铁木辛柯 陆明万,End,哈工大,土木工程学院,26/,27,01,绪论,1.1,张量概念,任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是 不以人们的意志为转移的。,分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客 观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。,张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的 重要数学工具。,张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。,所有与坐标系选取无关的量，统称为,物理恒量,。,第,1,节,张量概念及其基本运算,哈工大,土木工程学院,27/,48,01,绪论,在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物 理量，统称为,标量,（,Scalar,）。例如温度、质量、功,等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足,(,x,1,x,2,x,3,),(,x,1,x,2,x,3,),在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物,理量，称为,矢量,（,Vector,）,。例如速度、加速度等。,标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确 定。,哈工大,土木工程学院,28/,48,01,绪论,若我们以,r,表示维度（如三维空间），以,n,表示阶数，,则描述一切物理恒量的分量数目,M,可统一地表示成：,M,r,n,统一称这些物理量为张量（,Tensor,）,。,当,n,=,0,时，零阶张量，,M,=,1,，标量；当,n,=,1,时，一阶张量，,M,=,3,1,，矢量；,当,n,=,2,时，二阶张量，,M,=,3,2,，矩阵；,当取,n,时，,n,阶张量，,M,=,3,n,。,二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几 何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换,29/,48,关系式来解释、定义。,哈工大,土木工程学院,01,绪论,由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量 若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为,张量,。,张量定义,设（,a,1,a,2,a,3,）、（,b,1,b,2,b,3,）、,、（,s,1,s,2,s,3,）是矢,量,，,T,i,1,i,2,i,n,是与坐标选择有关的,3,n,个独立变量，若当 坐标变换时，,n,一次式,3,33,F,.,.,T,i,i,.,.,i,a,i,b,i,.,.,s,i,1 2,n,1,2,n,i,1,1,i,2,1,i,n,1,保持不变，则取决于脚标的,3,n,个量,T,i,1,i,2,in,的集合称,为,n,阶张量,，其中每个元素称为此张量的,分量,。,哈工大,土木工程学院,30/,48,01,绪论,1.2,指标记法,在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区 别该张量的所有分量。,不重复出现的下标符号称为,自由标号,。自由标号在其 方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。,重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为,哑标 号,或,假标号,。哑标号在其方程内先罗列，再求和。,如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为,3,。,哈工大,土木工程学院,31/,48,01,绪论,矢量,V,的方式表示：,v,i,代表矢量,V,的所有分量，,即当,V,写作,v,i,时，指标的值从,1,到,3,变化。,V,(,v,1,v,2,v,3,),3,i,1,v,1,e,1,v,2,e,2,v,3,e,2,v,i,e,i,v,i,1,e,e,2,e,3,x,1,f,(,X,),f,(,x,i,)=,f,(,x,j,)=,f,(,x,1,x,2,x,3,),x,2,x,3,o,1 2,3P,v,v,v,V,V,1,V,2,V,3,哈工大,土木工程学院,32/,48,01,绪论,a,i,b,i,a,i,b,i,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,i,1,3,a,i,j,b,j,a,i,j,b,j,a,i,1,b,1,a,i,2,b,2,a,i,3,b,3,i,1,j,1,j,1,3,3,a,i,j,b,i,c,j,a,i,j,b,i,c,j,a,1,1,b,1,c,1,a,1,2,b,1,c,2,a,1,3,b,1,c,3,a,21,b,2,c,1,a,22,b,2,c,2,a,33,b,2,c,3,a,31,b,3,c,1,a,32,b,3,c,2,a,33,b3,c,3,展开式,（,3,项）,展开式,（,9,项）,3 3,3,a,ijk,x,i,x,j,x,k,a,ijk,x,i,x,j,x,k,展开式,（,2,7,项）,1.3,求和约定,关于哑标号应理解为取其变程,N,内所有数值，然后再 求和，这就叫做求和约定。,3,33/,48,i,1,j,1,k,1,哈工大,土木工程学院,01,绪论,3,i,i,i,i,1,1,2,2,3,3,j,1,a,2,a,2,a,2,a,2,a,2,2,3,2,2,a,a,(,a,a,a,),i,1,i,i,i,i,1,1,22,3,3,3,3,ij,ij,ij,ij,i,1,j,1,11,11,12,12,13,13,21,21,22,22,23,23,31,31,32,32,33,33,哈工大,土木工程学院,34/,48,01,绪论,a,i,b,i,x,i,关于下标的约定可以总结为以下三条规则：,1.,如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为,自由指标,，这种自由指标在表达式或方程的每一 项中必须只出现一次。,2.,如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两 次，则称之为,哑标,，它表示从,1,到,3,求和。哑标在其他任何 项中可以刚好出现两次，也可以不出现。,3.,如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数 多于两次，则是错误的。,n,是违约,的，求和时要保留求和号,a,i,b,i,x,i,i,1,哈工大,土木工程学院,35/,48,01,绪论,例题,：,利用求和约定缩写下面线性方程组,a,11,x,1,a,12,x,2,a,13,x,3,b,1,a,21,x,1,a,22,x,2,a,23,x,3,b,2,a,31,x,1,a,32,x,2,a,33,x,3,b,3,解：作为第一步缩写，可以写成：,a,1,j,x,j,b,1,a,2,j,x,j,b,2,a,3,j,x,j,b,3,最后可以缩写为：,a,ij,x,j,b,i,其中,i,称为自由标，,j,称为哑标。,哈工大,土木工程学院,36/,48,01,绪论,例题：,描述,C,ij,=A,ik,Bjk,的意义。,解：,C,ij,=A,ik,B,jk,，则表明,i,，,j,为自由指标，,k,为哑标,表示,9,个方程：,C,11,A,1,k,B,1,k,A,11,B,11,A,12,B,12,A,13,B,13,C,12,A,1,k,B,2,k,A,11,B,21,A,12,B,22,A,13,B,23,C,13,A,1,k,B,3,k,A,11,B,31,A,12,B,32,A,13,B,33,C,21,A,2,k,B,1,k,A,21,B,11,A,22,B,12,A,23,B,13,C,33,A,3,k,B,3,k,A,31,B,31,A,32,B,32,A,33,B,33,哈工大土木工程学院,37/,48,01,绪论,关于求和标号（哑标）说明：,由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字 母可以任意改变。,2222,i,i,1,1,2,2,3,3,a,a,a,a,22,i,i,1,1,2,2,3,3,(,a,),(,a,a,a,),o,r,o,r,S,a,i,x,i,a,j,x,j,a,k,x,k,求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。,在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就 先求和。,哈工大,土木工程学院,38/,48,01,绪论,规定,：,出现双,重指标但不求和时，在指标下方加,划,线,以示区别，或用文字说明（如,i,不求和）。,R,i,C,i,E,i,C,i,E,i,这里,i,相当于一个自由指 标，而,i,只是在数值上等,于,i,，并不与,i,求和。,例外情况,R,1,C,1,E,1,R,2,C,2,E,2,R,3,C,3,E,3,哈工大,土木工程学院,39/,48,01,绪论,又如，,方程,2,22,1231,1,12,2,23 3,3,用指标法表示，可写成,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,不参与求和，只在数值上等于,i,哈工大,土木工程学院,40/,48,01,绪论,关于自由标号：,在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且 标号字母相同。,a,ij,x,j,b,i,自由标号的数量确定了张量的阶次。,哈工大,土木工程学院,41/,48,01,绪论,ij,ij,0,0,1,1,当,i,j,时；,或：,0,1,0,0,当,i,j,时；,ij,v,j,=v,i,即在将,ij,应用于,v,j,只是将,v,j,中的,j,用,i,置换；,对于单位矢量，点积,e,i,e,j,=,ij,；,其,他,关于,Kr,o,n,ec,k,e,r,符,号的描述可以参考孙炳楠的工程弹 塑性力学及相关张量的其他文献。,1.4,Kronecker,delta,（,ij,）符号,ij,是,张,量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单,位张量,也叫置换算子,.,其定义为：,1,0,0,哈工大,土木工程学院,42/,48,01,绪论,ij,的作用与计算示例：,(,1,),ii,11,22,33,3,(,2,),(,),2,(,),2,(,),2,3,ij,ij,112233,(,3,),ij,jk,i,1,1,k,i,2,2,k,i,3,3,k,ik,(,4,),a,ij,ij,a,11,11,a,22,22,a,33,33,a,ii,(,5,),a,i,ij,a,1,1,j,a,2,2,j,a,3,3,j,a,j,(,即,a,1,或,a,2,或,a,3,),(,6,),ij,l,j,l,i,ij,l,j,ij,l,j,(,ij,ij,),l,j,哈工大,土木工程学院,43/,48,01,绪论,若,e,1,，,e,2,，,e,3,是相互垂直的单位矢量，则,e,i,e,j,=,ij,e,i,e,i,=,e,1,e,1,+,e,2,e,2,+,e,3,e,3,=,11,22,33,3,e,i,e,i,=,ii,注意：,ii,是一个数值（,3,）,ij,的作用：,1,）换指标；,2,）选择求和。,哈工大,土木工程学院,44/,48,01,绪论,例,3,：,特别地,例,1,：,完成脚标变换,A,i,A,k,ki,A,i,kk,A,k,A,k,思路：把要被替换的指标,i,变成哑标，哑标能用 任意字母，因此可用变换后的字母,k,表示。,例,2,：,完成变换,T,kj,T,ij,ik,T,kj,ii,T,ij,T,ij,ikkj,ij,ik,kj,jm,im,A,mi,B,nj,代表,3,4,=81,个数，求,m=n,时各项的和。,mn,A,mi,B,nj,A,ni,B,nj,A,mi,B,mj,哈工大,土木工程学院,45/,48,01,绪论,张量的运算法则与矢量相类似。如：张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；,张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量；,n,阶张量缩并后变为,n-,2,阶张量等等。,1.5,张量的基本运算,哈工大,土木工程学院,46/,48,01,绪论,A,、,张量的加减：,凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。,a,ij,b,ij,c,ij,若,a,为一矢量，则,(,T,S,),a,=,T,a,S,a,其分量为：,(,T,S,),i,j,=,e,i,(,T,S,),e,j,=,e,i,T,e,j,e,i,S,e,j,=,T,i,j,S,i,j,其矩阵形式为：,T,S,T,S,哈工大,土木工程学院,47/,48,01,绪论,一个张量在一个坐标系中的所有分量都为,0,，则在所 有坐标系中的所有分量都为,0,。,这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑,F,i,导致的应力,ij,，以后将证明，为满足平衡,ij,j,=F,i,，现将它重写为,D,i,=,ij,j,F,i,=,0,因,为,D,i,是,零矢,量，因此只需在一个坐标系中证明即可。,哈工大,土木工程学院,48/,48,01,绪论,B,、张量的乘积（相当于叉乘）,张量,A,的每一个分量乘以张量,B,中的每一个分量所组成的集,合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子,张量阶数之和。,a,i,b,jk,c,ijk,对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。,张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合,律。例如：,ijij,k,ij,k,ij,k,(,a,b,),c,a,c,b,c,或,(,a,ij,b,k,),c,m,a,ij,(,b,k,c,m,),哈工大,土木工程学院,49/,48,01,绪论,C,、张量的收缩,设,n,阶张量的分量中有两个下标相同，根据求和约定，则得到具,有,n-,2,个下标的量，即,共,3,n-,2,个分量，,为,n-2,阶张量，称为张量收缩。例如：二阶张量,c,ij,收缩后为标量。,c,ii,c,11,c,22,c,33,D,、张量的内积（相当于点乘）,张量的内积是向量内积的拓展。在张量乘积,PQ,中，,m,阶,张,量,P,和,n,阶张量,Q,中,各取出一下标收缩,一,次后得到,m,+,n,-2,阶,张量，称为张量,P,和,Q,的内积，以,PQ,表示。,c,a,i,b,i,哈工大,土木工程学院,50/,48,01,绪论,E,、张量函数的求导：,对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。,一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标,参数,x,i,的函数。,张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。,对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前,方加“,，”的方式来表示。例如,A,i,j,，就表示对一阶,张量,A,i,的每一个分量对坐标参数,x,j,求导。,哈工大,土木工程学院,51/,48,01,绪论,如果在微商中下标符号,i,是一个自由下标，则算子,i,(,),作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；,i,x,i,x,1,x,2,x,3,),(,i,i,u,u,i,u,1,u,2,u,3,x,i,x,1,x,2,x,3,如果在微商中下标符号,i,是哑标号，则作用的结果将产,生一个新的降低一阶的张量。,哈工大,土木工程学院,52/,48,01,绪论,设,(,1,),(,2,),a,i,=,U,im,b,m,b,i,=,V,im,c,m,把（,2,）,代入（,1,）,b,i,=,V,im,c,m,b,m,=,V,mn,c,n,i,im,mn,n,a,=,U,V,c,3,个,方,程,，,右边为,9,项之和,指标记法的,运算,1,代入,哈工大,土木工程学院,53/,48,01,绪论,2,乘积,设,则,p,=,U,m,a,m,q,=,V,m,b,m,pq,=,U,m,a,m,V,n,b,n,不符合求,和约定,pq,U,m,a,m,V,m,b,m,哈工大,土木工程学院54/,48,01,绪论,T,ij,n,j,-l,n,i,=,0,3,因式分解,考虑,第一步用,n,j,表示,n,i,i,j,有换指标的作用,n,i,=,ij,n,j,所以,T,ij,n,j,-,l,ij,n,j,0,即,(,T,ij,-l,ij,),n,j,0,哈工大,土木工程学院,55/,48,01,绪论,哑标与求和无 关，可用任意,字母代替,ii,ii,为平均应力应变之间的关系,4,缩并,使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各,向同性材料应力应变关系。,T,ij,=,E,kk,ij,+,2,E,ij,缩并,ii,kk,ii,ii,kk,ii,哈工大,土木工程学院,56/,48,01,绪论,分量为,a,i,，于是,D,、张量的分量：,设,e,i,为卡氏直角坐标系,x,i,轴的单位基矢量，,a,为任一矢量，其,称为二,阶张量,T,的分量,对于一个二阶张量,T,，它可以将,a,变换成另一个矢量,b,，即,b,T,a,T,(,a,i,e,i,),a,i,(,Te,i,),b,i,be,i,a,j,(,Te,j,),e,i,a,j,(,e,i,Te,j,),T,ij,a,j,T,ij,e,i,T,e,j,a,a,i,e,i,a,i,a,e,i,e,i,a,可理解为矢量,T,e,j,在,e,i,上的分量。,哈工大,土木工程学院,57/,48,01,绪论,2,2,i,j,i,j,j,i,i,j,i,j,j,i,p,1,(,a,+,a,),q,1,(,a,a,),E,、张量的分解：,若张量,a,ij,的分量满足,a,ij,=,a,ji,则称,a,ij,为对称张量。,若张量,a,ij,的分量满足,a,ij,=,a,ji,则称,a,ij,为反对称张量。,显然反对称张量中标号重复的分量,(,也即主对角元素,),为零。,a,11,a,22,a,33,0,一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。,End,哈工大,土木工程学院,58/,32,01,绪论,研究对象,三维弹性体 微分单元体入手,超静定问题,静力平衡、,几,何变形,和,本构关,系,等三方面的,条件,本章从静力,学,观点出,发,，讨论,一,点的应力状,态，,建立平衡微分方程和边界条件。,哈工大,土木工程学院,59/,93,01,绪论,F,1,F,2,q,第,1,节,基本概念,1.1,外,力,1,外力,(load),：,导致物体产生变形的外界作用因素（热,力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用）称外力。我们讨论的外力是属于机械力的范筹。,面力：作用在物体表面上的力。,接,触力,、液体,压,力等；集中力、分布力；,单位：,N,或,N/m,2,。,体力：作用在物体每个质点上的力。,重力、惯性力等；,单,位,：,N/,m,3,。,F,n,F,i,60/,93,哈工大,土木工程学院,01,绪论,2,内力,(internal,force),：,物体内部抵抗外部机械作用而产,生相互作用称内力。,固有内力,物体各部分之间、材料各微粒之间的相互作用力。,物体在受到外力之前，内部就存在着固有内力。,附加内力,由外力而引起的内力，在原有内力的基础上，又添,加了新的内力，与变形有关。,F,1,q,F,1,F,2,F,2,M,R,R,M,q,f,p,F,n,F,i,哈工大,土木工程学院,F,n,F,i,61/,93,01,绪论,今后如无特别说明，就简称附加内力为内力。,通常内力随着外力的增加而增加，但不能无限地增加，若超过 一定的限度构件将被破坏。可见，附加内力与外力的关系及它 的限度，在研究构件承载能力时，就显得很重要了。,内力特点：,1,、有限性：,随外力的变化而变化，不能无限增加。,2,、分布性：,内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。,3,、成对性：,附加作用力和反作用力。,研究一个物体不同部分之间的内部相互作用，通常用“截面,法”。其基本步骤：,截开；代替；,平衡。,哈工大,土木工程学院,62/,93,01,绪论,3,应力,(Stress),：,受力物体内某截面上一点内力的内力分,布,疏,密程度，即分布集度,。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分,布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处,R,S,R,d,R,d,S,全应力：,p,lim,S,0,S,F,i,F,1,R,平均应力：,p,q,S,63/,93,开始,哈工大,土木工程学院,01,绪论,应力分解：,n,d,S,S,0,S,n,d,S,S,0,S,垂直于截面的应力称为,“正应力”：,lim,R,n,d,R,n,位于截面内的应力称为,“剪应力”：,lim,R,d,R,F,1,F,i,p,q,n,n,n,某截面（外法线方向）上的应,力,p,n,称为,全应力,(stress),，可分,解为,正应力,(normal,sress),n,和,剪应力,(shear,stress),n,哈工大,土木工程学院,64/,93,01,绪论,特点：,应力是内力的集度；内力和应力均为矢量；,应力的单位：,1Pa=1N/m,2,=1.0197kgf/mm,2,应力是某点,A,的坐标的函数，即受力体内不同点的应 力不同；应力是某点,A,在坐标系中的方向余弦的函数，即同一,点不同方位的截面上的应力是不同的。,所谓应力必须指明两点：,1.,是哪一点的应力；,2.,是该点哪个微截面的应力。,65/,93,哈工大,土木工程学院,点的应力状态,：是指通过变形体内某点的所有截,面上的应力矢量的合集,，,称为这点的应力状态,（,State of,Stress,at a Given,Point,）,01,绪论,第,2,节,应力,状,态和,应,力张量,2.1,应力状态,哈工大,土木工程学院,66/,93,01,绪论,单元体的性质,a,、任,一面上，应力均布；,b,、平,行面上，性质相同。,描述空间一点处的应力的单元体,单元体,：物体内点的代表物，是包围被研究点的,无限小的几何体。,哈工大,土木工程学院,67/,93,01,绪论,x,y,z,z,y,xz,zx,zy,yz,dx,x,dz,y,z,xy,yx,dy,O,单元体上的应力分量及应力正负值规定,应力的表示及符号规则,正应力：,xx,x,剪应力：,xy,xy,前字母表明该应力所在截面；后字母表明该应力所指方向。,指定坐标轴正方向：,x,y,z,。,应力的正负号规定,正面正向正；负面负向正。,x,哈工大,土木工程学院,68/,93,01,绪论,2.2,应力张量,在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变 换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。,应力分量,x,、,y,、,z,、,xy,、,yx,、,yz,、,zy,、,zx,、,xz,满足,上述性质，构成应力张量。,x,xyxz,11,1213,ij,yx,yz,21,22,23,y,zx,z,zy,31,32,33,哈工大,土木工程学院,69/,93,01,绪论,力张量确定。说明方向。,应力张量的特点,应力张量为二阶张量。,应力张量为对称张量。,一点的应力状态完全由应,应力分量是标量箭头仅是,x,x,y,x,z,1,1,12,13,ij,yx,yz,21,22,23,y,zx,z,zy,31,32,33,哈工大,土木工程学院,70/,93,01,绪论,第,3,节,应力状态分析,应力状态分析：,讨论一点某截面方位改变引起的 应力变化趋势的过程。一点可以用无穷个微元表 示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析,x,xy,y,zx,z,y,斜截面,上的应力,主应力,最大剪应力,应力状态对,z,于结构强度是十分重要的。,准确描述应,力,状态，,合,理的应,力,参数,。,用解析法研,究,解析理论,一点应力状态,用几何法研究,哈工大,土木工程学院,莫尔应力圆,71/,93,01,绪论,3.1,平衡微分方程,应力平衡微分方程,就是物体任意无限相邻两点间应力 关