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北京课改版五年级（下）数学复习提纲

一 长方体和正方体
【概念】　　　　　　　　　　
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。
2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

5、长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 （a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 ÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 ÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 ÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 ×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 ÷12
6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 2（＋＋）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
2（＋＋）－ 2（＋）＋
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 2（＋）
正方体的表面积=棱长×棱长×6 ×a×6
7、物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成3，3 ，m3。
长方体的体积=长×宽×高
长=体积÷宽÷高 ÷b÷h
宽=体积÷长÷高 ÷a÷h
高=体积÷长÷宽 V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 ×a×a
8、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。常用的容积单位有升和毫升，也可以写成L和。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
×进率
9、a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a x a x a）

【体积单位换算】　　　高级单位 低级单位
÷进率
低级单位 高级单位
体积单位进率：　 1立方米＝1000立方分米＝立方厘米
　　　　 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
　 1立方厘米＝1毫升
面积单位进率： 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米

重量单位进率：

时间单位进率：

长度单位进率：

二 因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
找因数的方法：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
2、自然数按能不能被2整除来分：奇数 偶数
奇数：不能被2整除的数
偶数：能被2整除的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
能同时被2、3、5整除的最大的两位数是90，最小的三位数是120。

奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数
偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。

偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数
相临两个自然数之和为奇数，相邻自然数之积为偶数。
如果乘式中有一个数为偶数，那么乘积一定是偶数。

3、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.
质数：有且只有两个因数，1和它本身
合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、5359、61、67、71、73、79、83、89、97
4、质因数
质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）如：4=2×2 ，6=2×3，8=2×2×2。

5、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

求最大公因数的方法：
（1）列举法：就是把几个数的所有因数都写出来，通过对比、观察、找出最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：12、3、6、9、18。
12和18的公因数有：1、2、3、6。
12和18的最大公因数是6
（2）分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有的质因数相乘得到的就是最大公因数。
如：12=2×2×3
18=2×3×3
12和18的最大公因数是2×3=6。
（3）短除法：除到互质为止，把所有的除数连乘起来
如： 12和18的最大公因数是2×3=6
2
3
12
18
6
9

2
3

几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
两数互质的特殊情况：
⑴ 1和任何自然数互质；
⑵ 2和所有奇数互质；
⑶ 相邻两个自然数互质；
⑷ 两个连续奇数一定互质
⑸ 两个质数一定互质；
⑹ 质数及比它小的合数互质；

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
两个数分别除以他们的最大公因数，所得商互质。

6、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
最小公倍数是最大公因数的倍数。最大公因数是最小公倍数的因数。

求最小公倍数的方法：
（1） 列举法：就是把几个数的所有因数都写出来，通过对比、观察、找出最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48、60、72……
18的倍数有：18、36、54、72……
12和18的公倍数有36、72等
12和18的最小公倍数是36

（2） 分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式，全部公因数和全部商的乘积即为最小公倍数。
如： 12=2×2×3
18=2×3×3
12和18的最小公倍数是2×3×2×3 =36。

（3） 短除法：用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）；用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

如： 12和18的最大公因数是2×3×2×3 = 36
2
3
12
18
6
9

2
3

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
两个数的最大公因数及最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

7、完全数（完美数）
6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3=6，像6这样的数叫完全数，也叫完美数。完全数较小的有6，28，496，8128……

三 分数的意义和性质
1、分数的意义
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
分数的意义：一些物体﹑一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分为若干份，表示其中的一份的数叫分数单位。如：2/3的分数单位是1/3。
分数及除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商，分母不能等于零。如a÷b＝ （b≠0）

2、真分数及假分数
真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
带分数：带分数由整数和真分数两部分组成。如1
假分数化成整数或带分数：用分子除以分母，要是能够整除，那么整除后的商就是你所要化简的整数，要是不能整除，那么商就是带分数的整数部分，余数就是分数的分子，分母不变。

3、分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外，分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，），分数大小不变。根据分数的基本性质可以进行约分和通分。

4、约分
约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
最简分数：分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）
约分的方法：
（1）分子分母同时除以它们的公因数，一直除到是最简分数为止。
（2）分子分母同时除以它们的最大公因数。

5、通分
通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：通常把两个分数化成以分母的最小公倍数为公分母的分数。注意根据分数的基本性质，分母乘几，分子也乘几。

6、分数大小的比较：
分母相同，分子大的分数大；
分子相同，分母大的反而小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较。

7、分数和小数的互化：
分数化小数：用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
小数化分数：把小数先化成以10、100、1000……为分母的分数，如 0.7=7/10，如果不是最简分数必须化成最简分数。
最简分数的分母只含有质因数2和5,这个分数一定能化成有限小数。如果含有2和5以外的质因数，就不能化成有限小数。

分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。

四 分数的加法和减法
1、 分数的加减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
分母不同的分数，要先通分才能相加减。
计算的结果，能约分的要约成最简分数。
分数加减混合运算的顺序及整数加减混合运算的顺序相同。有括号的先算括号里面的；没有括号的，按照从左到右的顺序依次计算。
整数加法的交换律、结合律对分数假发同样适用。
2、带分数加减法:
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

五 统计
1、概念
众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
中位数：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数能够反映一组数据的一般情况，中等水平。
中位数的求法：1、按大小排列。2、如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；3、如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
平均数=总数量÷总份数

2、统计表和统计图
收集和积累数据经常使用的方法是画（正），哪种数据增加1，就在哪种数据的名称后面画一笔。为了便于比较，还要把这些数据加以整理，制成统计表或统计图。
统计表：根据统计项目多少，可以分为单式统计表和复式统计表。
统计图：根据统计项目多少，统计图又分为单式统计图和复式统计图，如：折线统计图可以分为单式折线统计图和复式折线统计图。根据统计图的展现形式，可可以分为条形统计图，折线统计图扇形统计图。
折线统计图的特点：
（1）用一个单位长度表示一定的数量。
（2）用折线的起伏来表示数量的增减变化。
拆线图的作用：从图中能清楚地看出数量的增减变化情况，也能看出数量的多少。
复式折线统计图及单式折线统计图的区别：复式折线统计图和单式折线统计图的结构完全一样，只是单式折线统计图有一条折线，而复式折线统计图又两条以上的折线，多张结构一样的单式折线统计图可以合并到一张复式折线统计图中，从而可以更清晰的分析各类数据之间的差别。

六 图形的变换
轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。
旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变；两组对应点非别及旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点。
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