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初中数学乘法公式
乘法公式
概念总汇
1、平方差公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

（a+b）（a-b）=a-b
说明：
（1）几何解释平方差公式
如右图所示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a2－b2；
第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（a－b），
它的面积是：（a＋b）（a－b）
结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算
2、完全平方公式
完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即
（a+b）=a+2ab+b，（a-b）=a-2ab+b
这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：
（1）几何解释完全平方（和）公式
如图用多种形式计算右图的面积
第一种：把图形当做一个正方形来看，所以
它的面积就是：（a＋b）2
第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的
长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形
的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以
它的面积就是：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积
所以：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（2）几何解释完全平方（差）公式
如图用多种形式计算阴影部分的面积
第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以
它的面积就是：（a-b）2
第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的
长方形来看，
其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是b，所以
它的面积就是：
结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积
所以：
（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b）=a+b，（a-b）=a-b。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导
1、乘法公式的基本计算
例1 利用平方差公式计算：
（1）（3x＋5y）（3x－5y）；
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）
（3）（-m＋n）（-m－n）
难度等级：A　　

解：（1）(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2
（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2
（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2
↓ ↓ ↓ ↓
（a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2
【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果
【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a，不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式
【搭配练习】
用平方差公式计算
（1）（－0.25x－y）（－0.25x＋y）
（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）
（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）
例2 利用完全平方公式计算
（1）（2a＋3）2 （2）（0.5m－0.2n）2
（3）（-2x－3y）2 （4）（1－3x）（3x-1）
难度等级：A
　　解：（1）

（a＋b）2＝ a2＋ 2ab＋ b2
（2）

（3）第一种解法：

第二种解法：

（a＋b）2＝ a2 ＋2ab ＋b2
（4）

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。
【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号
【搭配练习】
利用完全平方公式计算
（1） （2）
（2） （4）

2、简便计算
例3 利用平方差公式简便计算
（1）103×97 （2）59.8×60.2
难度等级：A
　　解：（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991

（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96
【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。
【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）÷2得到的就是第二个数，即公式中的b
【搭配练习】
利用平方差公式简便计算
（1）899×901＋1
（2）98²
（3）

例4 利用乘法公式简便计算
（1） （2） （3）
难度等级：A
　　解：（1）
（2）
（3）

【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式
【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种
【搭配练习】
利用乘法公式简便计算
997²－1001×999

例题讲解
(一）题型分类全析
例1：下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
难度等级：A
【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x，所以A错； 利用多项式乘法法则，计算（x+y）(x2+y2)，得x3+xy2+x2y+y3，所以B也不对；利用平方差公式，有(-4a-1) (4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2，所以C是正确的；由完全平方公式，得(x-2y)2=x2-4y+4y2，所以D错. 因此，选C.
解：C
【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。
【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。
【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。
【搭配练习】
1、下列关系式中，正确的是( )
A.(a－b)2=a2-b2 B.(a+b)(a - b)= a2-b2
C.(a+b)2= a2+b2 D.(a+b)2= a2-2ab+b2
2、下列计算正确的是( )
A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2
C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2

例2：多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）
难度等级：B
【思维直现】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的特点，若表示了a2+b2的话，则有a=2x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（2x）·1=±4x，此时，±4x2x±1)2；如果认为表示了2ab+b2的话，则有a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为a2=（2x）2= 4x4，此时，4x4+=(2x2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到4x2=(2x)2，1=12，所以，保留二项式中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者 - 4x2，此时有-1=4x2=(2x)2，或者-4x2=12. 综上分析，可知所加上的单项式可以是.
解：±4x、4x4、-1或 - 4x2
【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的
【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果能把所有的情况都想清楚，当然更好。
【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。
【搭配练习】
若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=( )
A.9b2 B.±3b2 C.3b D.±3b

例3 计算：
（1）
（2）
（3）
难度等级：B
【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前，要运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形式
解：（1）

（2）

（3）

或者

【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，可能还会需要第二次展开，层层递进。
【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式
【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求出最后结果
【搭配练习】
计算：
（1）(c－2b+3a)(2b+c－3a)
（2）（a－b）（2a＋b）（3a2＋b2）；
（3）（2a－3b＋1）2

例4 请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 ．
难度等级：A
【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x2，两个小正方形的面积分别是y2与（x-y）2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下乘法公式：（x-y）2=x2-2xy+y2；
解：（x-y）2=x2-2xy+y2
【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现。
【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。
【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式

例5．计算：.
难度等级：C
【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式，如果能通过恒等变形构造一个因式，则运用平方差公式就会迎刃而解。
解：

【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。
【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。当题目有可能转化成所熟悉的式子时，要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。
【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。
【搭配练习】
计算
1、(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)+1
2、（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）

例6：已知，，求：
（1）a2＋b2 （2）a2＋ab＋b2 （3）a4＋b4
难度等级：A
【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题（1）就是在的基础上减去了；题（2）可以看做的基础上减去了，或是在题（1）的基础上加上了；题（3）就是在题（1）结论的基础上，把平方后减去，而即是。
解：（1）∵，
∴
即
∴
（2） ∵，
∴

∴
（3） ∵，，
∴

即
∴
【阅读笔记】完全平方公式的左边式子比较简单，右边是个三项式，所以在此基础上可以演化出许多其他的式子，可把三项式的其中两项作为一个多项式来看，如，那就可以用原来公式中左边的式子减去或加上。无论式子怎样变化，的关系是不会变的
【题评解说】本题是完全平方公式的提高题，对学生的要求比较高。必须要在熟悉公式的基础下，还要灵活运用，逆向思维比较强。
【建议】一开始可以在公式的基础上进行变形，等学生熟悉后，再得出计算结果比较好。
【搭配练习】
已知，，求，的值.

（二）思维重点突破
例7 观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．（x－l）（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝ .
难度等级：C
【思维直现】由给定的等式，可以发现结果是以x为底数的幂与1的差，并且这个幂的指数比第二个括号中x的最高次幂的指数大1，所以（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝xn+1-1.
解：（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝xn+1-1
【阅读笔记】找规律的题目，就一定要发现它的规律，虽然第一个式子时平方差公式，但第二个、第三个式子已经不是了，找到变化过程中变的项和不变的项，结果就很容易得出了。
【题评解说】此题主要考查用类比思想总结规律，给出特殊的例子，找到一般的规律。此类题目要求综合能力比较高，还要积累一定的知识，才容易发现规律。
【建议】可以把式子进行对比，每一次的变化只会是式子的部分变化，式子从左到右，发生了什么样的变化，找到自我变化的式子和因它变化的式子。
【搭配练习】
观察下列各式：

……
通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是 。
例8．甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
难度等级：C
【思维直现】列表分析

3月份
4月份
5月份
甲超市销售额
a
a(1＋x%)
a(1＋x%) x(1＋x%)= a(1＋x%)2
乙超市销售额
a
a(1－x%)
a(1－x%) x(1－x%)= a(1－x%)2

解：（1）

（2）当a=150，x=2时

【阅读笔记】应用题使用列表的方法可以让题目的数量关系变得清晰，题目中的文字都用表格和式子来进行表示。能把表格填好，也就意味着题目分析清楚了
【题评解说】本题要求在理解清楚题目意思的前提下，列出式子，并且还需要化简求值。列出式子是一个难点，化简式子是另一个难点。
【建议】分析问题的时候，建议用列表的方法，把数量关系表示出来，再结合题目，给出符合题目意思的式子，列完式子后，也可以在代回到原题中，看是否符合
【搭配练习】

如图，点M是AB的中点，点P在MB上分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，设AB=4a，MP=b，正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S。
（1）用a，b的代数表示S。
（2）当a=4、b=1/2时，S的值是多少？当a=S，b=1/4时呢？

课后作业
A类作业：
一、填空题
1、（2a－b）（ ）＝b2－4a2．
2、（a－b）2＝（a＋b）2＋_____________．
3、20×19＝（　　）·（　　）＝________．
二、选择
1、若a≠b，下列各式中不能成立的是……………………………（　　）
（A）（a＋b）2＝（－a－b）2 （B）（a＋b）（a－b）＝（b＋a）（b－a）
（C）（a－b）2n＝（b－a）2n （D）（a－b）3＝（b－a）3
2、下列各式中正确的是…………………………………………………（　　）
（A）（a＋4）（a－4）＝a2－4 （B）（5x－1）（1－5x）＝25x2－1
（C）（－3x＋2）2＝4－12x＋9x2 （D）（x－3）（x－9）＝x2－27
三、解答
1、利用公式法计算
（1）(a2－b)( －b－a2) （2）(a－)2 (a2+)2(a+)2
（3）(－2a－3b)2 （4）(a－3b+2c)2
（5）101×99 （6）982
（7）899×901＋1 （8）（）2002·（0.49）1000
2、已知ｘ＋ｙ＝4，ｘｙ＝3，求：3ｘ2＋3ｙ2；（ｘ－ｙ）2

B类作业：
一、填空题
1、（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于………………………………………………（　　）
（A）a4－1 （B）a4＋1 （C）a4＋2a2＋1 （D）1－a4　
2、若（x＋mx－8）中不含x的一次项，则m的值为………………………（　　）
（A）8 （B）－8 （C）0 （D）8或－8
3、下列计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、化简得（ ）
A、 B、 C、 D、
二、解答题
1、计算
(1)(x+y－z)(x－y+z)－(x+y+z)(x－y－z) (2)[(x2+6x+9) ÷(x+3)](x2-3x+9)
(3)(a2－4)(a2－2a+4)(a2+2a+4) (4)
(5)
2、设ａ－ｂ＝－2，求－ａｂ的值。
3、化简求值 [（x＋y）2＋（x－y）2]（2x2－y2），其中x＝－3，y＝4

C类作业：
一、计算
(1)(c－2b+3a)(2b+c－3a) (2)(a－b)(a+b)2－2ab(a2－b2)
(3) (2y－z)2[2y(z+2y)+z2]2 (4)(a－b+c－d)(－a－b－c－d)
(5) 5(m+n)(m－n)－2(m+n)2－3(m－n)2 （6）（a2c－bc2）－(a－b+c)(a+b－c)
二、解答题
1、花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？
2、已知a＋b＝5，ab＝7，求，a2－ab＋b2的值．
3、已知（a＋b）2＝10，（a－b）2＝2，求a2＋b2，ab的值．
4、已知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，求证a＝b＝c．
5、已知x＋＝2，求x2＋的值．
6、已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式－ab的值
7、已知a2＋6a＋b2－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab的值．

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