高中数学数形结合习题.docx

1. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）C
A． B． C． D．
2．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) []
3．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有 （ ）A
（A） （B） （C） （D）

4. 若直线及曲线恰有一个公共点，则的取值范围是 ( )
或(-1,1]
4.
表示一组斜率为1的平行直线，
表示y轴的右半圆。如图可知，
[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题
可以进一步拓展，，等。
5．若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为________。

题型解析
例1．方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数为（ ） y
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 g
o f x

分析：解方程f（x）=g（x）的问题归结为两个函数y=f（x）
及y=g（x）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。
解:如图 在同一坐标系内，作出y=sin2x，x∈(0,2π)；g=sinx，x∈(0,2π)的图有三个交点，故方程sin2x=sinx在(0,2π)内有三个解。
一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力及计算能力，还体现了化归及转化和分类讨论的思想。
练习 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数,对于K∈Z用表示区间(2k-1,2k+1),已知x∈时,有f(x)=。
(1) 求f(x)在上的解析式。
(2) 对于自然数K,求集合={a|使方程f(x)=ax在上有两个不相等的实根}。
解(1)如右图 从图形可以看出f(x)=。 y
(2)如下图 由f(x)=ax,x∈,得=ax o x
即4k+a)x+4=0,考察函数f(x)= -(4k+a)x+4，x∈(2k-1,2k+1)的图象位置,依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必及x轴有两个不同交点。则有
△ ＞0 y
f(2k-1) ＞0
f(2k+1)≥0 2k
2k-1＜(4k+a)/2＜2k+1 o 2k-1 2k+1 x
从中解得:0小值，所以点应为直线和y轴及直线的交点．
解：作点关于y轴和直线的对称点，则点的坐标分别为，
由两点式得，
整理得，即为直线的方程，
易得它和y轴和直线的交点坐标分别为．
即使得周长最小的点P和N的坐标分别为．
评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．
例3.已知点在直线上，且的最小值为，求m的值．
解：∵，
∴它是点和点之间的距离，它的最小值就是点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，
平方得，
整理得，
∴．
评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结．

练习.求点到直线的距离的最大值．
分析：对直线方程整理后，我们会发现它表示过定点的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以，当且仅当时取等号，即此时取得最大值．
解：可化为，
它表示过直线和交点的直线．
解方程组得两直线交点为，
即直线恒过定点，
当时取最大值，
∵，
∴的最大值为．

例4.已知，a2二次函数g（a）的图象的对称轴为上单调递增，又b位置关系，进而由点到直线的距离公式求解.
    证明： 不等式左端可视为点
P（a，b）到点Q（3，-4）的距离的平方，而点P（a，b）可看作直线l：x+y=1上的任意一点，于是问题转化为点P在直线l上什么位置时线段PQ最短，当然是PQ⊥l时点Q到l的距离最短，所以如下图

【反思】 本题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题.

练习. 已知：a，b，c为正实数。求证:(a+b+c)＜ + +＜2(a+b+c)。
分析:由欲证不等式中的 联想到勾股定理, D a b c C
把看作边长分别为a,b的矩形的对角线,因此,我们 c
可以构造如图所示的图形。以a+b+c为边构成正方形ABCD, b
则AC=(a+b+c),AE=,EF=,FC=, A B
而 AC＜AE+EF+FC＜AD+CD
所以有 (a+b+c)＜++＜2(a+b+c)。
注:观察、联想是构造图行,创新解题的关键。
注：有些题目若按常规的代数解法需要讨论,比较烦琐且易产生遗漏现象,我们这样构造利用图象分析,得出答案非常直观简洁。
例6 不等式的解集是,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
分析:分别作出及的图象,从图象上很容易得到结论.
y
2
x
解: 令,,
是过原点且斜率为的直线,
是圆心在
半径为2的圆在轴及轴上方的部分,
不等式的几何意义是半圆在上恒处于直线的上方(如图),
可知是,上述结论成立,的取值范围是.选C.

综合自测
1．设的最小值是 （ ）－3
2.设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式的解集是______________。
y
-1
O
1
x
2.解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：
当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0
当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0
又
∴成立，则必有
0＜x(x-)＜1,解之得：＜x＜0 或 ＜x＜
3.抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是（ ）
解析:1. 设直线及相切,联立整理得,
由,得,这时得切点(,1),

4．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则 （ ）6
5:已知向量,向量,向量,则向量
及向量的夹角的取值范围是（ ）
答案:1. 由,知点A在以
(2,2)为圆心,为半径的圆周上(如图),过原点O作
圆C的切线,为切点,由,
知,有,
过点O作另一切线,为切点,则,

6.直线及曲线 的公共点的个数为 （ ）4
7．关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是________
设,化原式为：，
画出函数的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。

8．对,记则则函数
的最小值是　________　．
y=|x+1|
|
y=|x-2|
y
-1
2
o
x
解析：由，
O
M
C
y
x
如右图
9. 如果实数x、y满足，那么的最大值是 。
如图，联结圆心C及切点M，则由OM⊥CM，又Rt△OMC中，
OC=2，CM=
所以，OM=1，得

10．求函数的最大值。
解：由定义知1-≥0且2+x≠0
∴ -1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有

可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])及定点A（-2，0）连线的斜率，
而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即（y∈[0，1]是半圆。
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2
∴ ，∴0≤kAM≤
即函数的值域为[0，]，故最大值为。
11．
解：

，
它及椭圆在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
相切于第一象限时，u取最大值

12. 已知：acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)
求证：
分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上．还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）及点B（cosβ,
sinβ）是直线l:ax+by=c及单位圆x2+y2=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ) 2+(sinα–sinβ) 2
=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜) 2=d2即

∴．
13.若不等式的所有m都成立。求x的取值范围。
解：原不等式化为（-1）m-（2x-1）＜0记f（m）=（-1）m -（2x-1）
（-2≤m≤2），其图像是线段。结合图像和题意知，只须：
f（-2）=-2（-1）-（2x-1）＜0
f（2）=2（-1）-（2x-1）＜0
即

解之，x的取值范围为。
14.已知二次函数的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数 的图象及直线y=x的两个交点间的距离为8， ．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．

用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．
解 （1）由已知，设，由=1，得b=1．∴．
设=（k＞0则其图象及直线y=x的交点分别为A（k，k），
B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8，
∴( x)=，故f（x）=．
（2）由f（x）=f（a），得
即.
在同一坐标系内作出和的大致图象（如图所示），其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线的图象是以（0，）为顶点，开口向下的抛物线．及的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵= 4， =，当a＞3时，
.
∴当a＞3时，在第一象限的图象上存在一点（2，）在图象的上方．
∴及的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．
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