高中数学必修四知识点总结.doc

高中数学必修四知识点总结
必修四数学公式概念
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
.
与角终边垂直的角的集合：.
1.1.2 弧度制
2、 如图，圆O的半径为1，的长等于1，就是1弧度的角。
3、 角的弧度数的绝对值是： 变形：
其中 半径，圆心角，弧长.
4、 特殊弧度数
度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度

度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度

“弧度”与“度”计算公式：

5、 弧长公式：
6、 扇形面积公式：
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1、 如图：
①正弦： ②余弦：
③正切：
2三角函数定义域 3、三角函数值的符号
三角函数
定义域

R

R

_
_
+
+

4、诱导公式一

利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为内的三角函数值。
5、三角函数线

如图，
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
正弦
0

余弦
1

正切
0

不存在

不存在

6、特殊角的三角函数

x=y
补充1、如图，角平分线落在一、三象限线上方，则.
补充2、如图，当时，
证明：

1.2.2 同角三角函数的基本关系
7、 平方关系： 变形：，
8、 商数关系： 变形：，
9、 推导公式： ① ②
③ ④
1.3 三角函数的诱导公式
公式二： 公式三： 公式四：

公式五： 公式六：

1.4 三角函数图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象

2、 在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
，
，：
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
3、 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数、非零常数就叫做这个函数的周期。
函数与函数的周期.
4、 重要推论
（1） 若函数，则关于对称；
若函数，则关于点对称.
（2） 与周期相关的结论
①，则函数的一个周期；
②，则函数的一个周期；
③，则函数的一个周期；
④，则函数的一个周期；
⑤，则函数的一个周期；
⑥关于和对称，则周期；
⑦关于和对称，则周期；
⑧关于和对称，则周期.
5、 正弦函数的定义域为；值域为.
当时，取最大值1；当时，取最小值.
6、余弦函数的定义域为；值域为.
当时，取最大值1；当时，取最小值.
7、奇偶性
由诱导公式，可知：
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
8、 对称性
（1） 正弦曲线对称中心坐标为；对称轴方程是.
（2） 余弦曲线对称中心坐标为；对称轴方程是.
9、 单调性
（1） 正弦函数在上都是增函数，其值从增大到1；在上都是减函数，其值从1减小到.
（2） 余弦函数在上都是增函数，其值从增大到1；在上都是减函数，其值从1减小到.
1.4.3 正切函数的性质与图像
10、 正切函数的图像 11、正切函数的定义域是：
.
12、周期性
由诱导公式, 可知，正切函数是周期函数，周期是.
13、奇偶性
由诱导公式， 可知，正切函数是奇函数。

14、 单调性：正切函数在开区间内都是增函数。
15、值域：正切函数的值域为R.
1.5 函数的图像
1、 对，R图像的影响
函数（）的图像，可以看做是把的图像上各点向左（）或向右（）平移个单位得到的。（可简记为左“”右“”）
2、 对图像的影响
函数的图像上点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。
3、 对图像的影响
函数的图像，可以看做是把上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到。
4、 ，， 的性质
（1） 对称轴：令，即，
（2） 对称中心：令，，，
（3） 最值：
（4） 单调区间：均大于0以后，将整体代入
5、 当函数表示一个振动量时，为振幅，是周期，是频率，为相位，为初相。
第二章 平面向量
2.1 平面向量的基本概念
2.1.1 平面向量的概念
1、 向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、 数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2 向量的几何表示
3、 有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
4、 向量的模：向量可以用有向线段表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作或者.
5、 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。
6、 单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、 向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母、…表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母表示。
8、 平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作//。零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有//.平行向量也叫做共线向量。
2.1.3 相等向量与共线向量
9、 相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。
10、 共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算与其几何意义
1、 三角形法则：如图，已知非零向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即.
对于零向量与任一向量，仍然有
2、 平行四边形法则：如图，以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作，则以为起点的对角线就是与的和。记作.
3、 向量、、的关系
（1） 、都为非零向量
（Ⅰ）当、不共线时，
（Ⅱ）当、共线时，①同向，则；②反向，则
（2） 当、至少有一个为零向量时，
综上所述：当、不共线时，一般地，我们有 .
4、 向量加法（1）交换律： （2）结合律：
2.2.2 向量减法运算与其几何意义
5、 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.
若、是互为相反的向量，则，，.
6、 向量的减法：如图，已知向量于，在平面内任取一点O，作，，则，即表示的向量从向量的终点指向向量的终点的向量。
7、 向量、、的关系
（1）、都为非零向量，
（Ⅰ）当、不共线时：
（Ⅱ）当、共线时，①同向，则；②方向，则
（2） 当、少有一个为零向量时，
综上所述：当、不共线时，一般地，我们有.
2.2.3 向量乘法运算与其几何意义
8、 向量的数乘：实数于向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
结果也是向量

当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
9、 向量满足的运算律
设、为实数，则有 结合律：；
第一分配律：；第二分配律：.
特别的，我们有；.
10、 数乘向量与原向量之间的位置关系
（1） 当时，与共线；
（2） 当时，与同向，则；反向，则.
11、 对于向量、，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义知，与共线。
12、 共线向量定理
（1） 判定定理：如果，那么//
（2） 性质定理：如果//那么存在唯一一个实数，使得
2.3 平面向量的基本定理与坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使.我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、 两向量的夹角
如图，非零向量、中，作，，则叫做向量与的夹角。如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作⊥.
2.3.2 平面性量的正交分解与坐标表示
3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实、使得.
把叫做向量的坐标表示。
2.3.3 平面向量的坐标运算
5、 向量的加减法运算
若，，则，
两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
6、 实数于向量的积
若，，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
7、 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
8、 设，，其中，当且仅当时，向量、共线。即//（）.
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的含义
1、数量积：已知两个非零向量与我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即.其中，是与的夹角。
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即.
注意：（1）、运算结果是数量；（2）它在为正，为负。
2、根据向量数量积的定义得出的结论
（1）
（2） 当与同向时，；当与反向时，. 特别的，或.
（3） （共线时取等号）
（4） 求投影，由.
求夹角，由
3、平面向量数量积的几何意义
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
4、 向量的运算律
（1） 交换律： （2）结合律：
（3）分配律：
（4） （5）
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5、平面向量数量积的坐标表示
设，，则.
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
6、 向量的长度（模）的坐标表示
（1） 向量的长度（模）：若，则有，.
（2） 两点间的距离公式：设、两点坐标分别为，，则
7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设，，则
8、 两向量夹角的坐标表示
设，，，的夹角为，则有
平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为，则
三点共线或.
特别的，当时，为中点，.
补充2、（1）若，则为△的重心。
（2）若，，，则坐标为

补充3、当时，则

总结：若，则.

第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、 （）
给出任意角，的正弦、余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公式。简记作.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、 两角和的余弦公式
（）
3、 两角和（差）的正弦公式
（）
（）
4、 两角和（差）的正切公式
（）
（）
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（）
（）
（）
8、公式的逆运算即变形公式
（1）
（2） 升幂公式：
降幂公式：
补充1：辅助角公式：
补充2：若在三角形“△”中，，
则.
3.2 简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式

7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式

8、象限角符号的判定

第一象限
第一、三象限
、
、

第二象限
第一、三象限
、
、

第三象限
第二、四象限
、
、

第四象限
第二、四象限
、
、

若给出角的范围（某一区间）时，可先求出的范围，然后再根据所在的范围来确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式

10、 三角函数的和差化积公式

11、 三倍角的正弦、余弦、正切公式

12、 其他一些恒等变换

19 / 19