微分经济数学赵树嫄.pptx

蚌埠学院 高等数学11 四月 20241一、微分的概念一、微分的概念 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用 第二章 蚌埠学院 高等数学11 四月 20242 恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释：硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。蚌埠学院 高等数学11 四月 20243边长由一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到其蚌埠学院 高等数学11 四月 20244的微分微分,定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数而 称为记作即在点可微可微,注注1：注注2：蚌埠学院 高等数学11 四月 20245定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即蚌埠学院 高等数学11 四月 20246定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则蚌埠学院 高等数学11 四月 20247注注1：函数的变化率问题函数的增量问题微分微分:导数导数:注注3：导数与微分的区别蚌埠学院 高等数学11 四月 20248注注4：时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当蚌埠学院 高等数学11 四月 20249微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记蚌埠学院 高等数学11 四月 202410例如例如,基本初等函数的微分公式(见 P115表)又如又如,蚌埠学院 高等数学11 四月 202411二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数蚌埠学院 高等数学11 四月 202412例例1.求 解解:例例2.设求 解解:利用一阶微分形式不变性,有蚌埠学院 高等数学11 四月 202413例例2.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意:数学中的反问题往往出现多值性.例如蚌埠学院 高等数学11 四月 202414三、三微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:蚌埠学院 高等数学11 四月 202415特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得蚌埠学院 高等数学11 四月 202416的近似值.解解:设取则例例4.求蚌埠学院 高等数学11 四月 202417的近似值.解解:例例5.计算蚌埠学院 高等数学11 四月 202418例例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,蚌埠学院 高等数学11 四月 202419四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限蚌埠学院 高等数学11 四月 202420误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,蚌埠学院 高等数学11 四月 202421例例7.设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)蚌埠学院 高等数学11 四月 202422内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差蚌埠学院 高等数学11 四月 202423思考与练习思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.蚌埠学院 高等数学11 四月 2024242.5.设由方程确定,解解:方程两边求微分,当时由上式得求得蚌埠学院 高等数学11 四月 2024256.设 且则作业作业 P122 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);12蚌埠学院 高等数学11 四月 202426基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 先先计算函数的计算函数的导数导数,再再 乘以自乘以自变量的微分变量的微分.蚌埠学院 高等数学11 四月 202427解法解法2另例另例解解法法1另例另例解解蚌埠学院 高等数学11 四月 202428另例另例解法解法1解法解法2