2数列极限.pptx

第二节第二节 数列的极限数列的极限一、一、数列极限的定义数列极限的定义二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质返回返回极限思想极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭 剩余长度依次为剩余长度依次为 1，不为零，但无限接近零不为零，但无限接近零1/2，1/4，1/8，1/16，,1/32，我国战国时期（公元前我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：世纪）名家公孙龙等人提出命题：在中国古代的萌芽和应用在中国古代的萌芽和应用刘徽刘徽割圆术割圆术 割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣 圆内接正 n 边形面积为 圆内接正 6 边形面积 圆内接正 12边形面积 圆内接正 24 边形面积 圆内接正 48 边形面积数列的极限随着项数随着项数 n 的增大，的增大，an 越来越接近越来越接近 A（不够确切）（不够确切）n充分大时，充分大时，an 的值可以无限逼近的值可以无限逼近A（定性描述）（定性描述）（精确定义）（精确定义）（精确定义）（精确定义）存在存在 Exist任意任意 Arbitrary下面逐步给出极限的定义下面逐步给出极限的定义epsilon中文音译：伊普西龙、艾普西龙中文音译：伊普西龙、艾普西龙定义定义:设设an为一个数列为一个数列,aR,-研究对象研究对象若若 0,-任意任意,小小,给定给定 NN+,-与与 有关有关,但不唯一但不唯一-不计较前面的有限项不计较前面的有限项,但要求后面的所有项但要求后面的所有项当当nN时时,恒有恒有|an-a|.-an与与a之间的距离小于之间的距离小于 ,则称数列则称数列an以以a为极限为极限,或称或称a为数列为数列an的的极限极限.记为记为或或 ana(n).即落在即落在a的的 邻域邻域N(a,)内内数列极限的几何意义数列极限的几何意义使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项都落在都落在a点的点的邻域邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.如果数列如果数列没有极限没有极限，就称数列是，就称数列是发散发散的。的。例例1 证明证明因此因此则当则当n N时，有时，有倒推解倒推解n得到得到N例例2.设设|q|1,用定义证明用定义证明证明证明:(1)若若q=0,结论显然成立结论显然成立.(2)若若0|q|0(不妨设不妨设 1),为使为使|qn 0|=|qn|,只需只需nln|q|取取N=则当则当nN时时,就有就有|qn 0|.所以所以 倒推解倒推解n得到得到N例例3 证明证明因此取因此取则当则当n N时，有时，有0a1证明类似证明类似小结小结:用定义证明用定义证明关键在于分析关键在于分析|an-a|,经过适当放大经过适当放大,找出它与找出它与n之间的简单关系之间的简单关系.有时需要对对参数进行讨论有时需要对对参数进行讨论.放大的原则：放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限四、四、数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.分析分析直接证明较困难，采用反证法直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，由数列极限的几何意义，在在a的任一的任一邻域内聚集着邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有该邻域之外至多有xn中的有限个点中的有限个点证证用反证法用反证法a b不妨设不妨设a b矛盾，这说明结论成立矛盾，这说明结论成立 在数列在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列子数列：定理定理3 3若数列若数列xn 收敛于收敛于a ，则它的任一子数列，则它的任一子数列也收敛，且极限也是也收敛，且极限也是a 这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的有两个子数列收敛于不同的极限值，则极限值，则xn一定是发散的。一定是发散的。例例6对于数列对于数列xn 证证此时有此时有此时有此时有总之：总之：恒有恒有五五.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性有界性 唯一性唯一性.作业作业记住结论：记住结论：