1、本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,一、偏导数概念及其计算,二、高阶偏导数,第二节,偏 导 数,第1页,定义,1.,在点,存在,偏导数，记为,某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意,:,一、偏导数定义及其计算法,第2页,一样可定义对,y,偏导数,若函数,z=f,(,x,y,),在域,D,内每一点,(,x,y,),处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,y,偏导数存在,第3页,比如,三元函数,u=f,(,x,y,z,),在点,(,x,y,z,),处对,x,偏导数概念能够推广到二元以上函数,.,偏导数定义为,第4页,二元
2、函数偏导数几何意义,:,是曲线,在点,M,0,处切线,对,x,轴斜率,.,在点,M,0,处切线,斜率,.,是曲线,对,y,轴,第5页,例,1.,求,解法,1:,解法,2:,在点,(1,2),处偏导数,.,第6页,例,2.,设,证,:,例,3.,求,偏导数,.,解,:,求证,第7页,偏导数记号是一个,例,4.,已知理想气体状态方程,求证,:,证,:,说明,:,(,R,为常数,),不能看作,分子与分母商,!,此例表明,整体记号,第8页,例,5.,求,在点,(0,0),处偏导数,.,例,6.,求,在点,(0,0),处偏导数,.,例,7.,求,在点,(0,0),处偏导数,.,第9页,函数在某点各偏导数
3、都存在,显然,比如,注意：,但在该点不一定连续,.,在上节已证,f,(,x,y,),在点,(0,0),并不连续,!,第10页,二、高阶偏导数,设,z=f,(,x,y,),在域,D,内存在连续偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),二阶偏导数,.,按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导,数,:,第11页,类似能够定义更高阶偏导数,.,比如，,z=f,(,x,y,),关于,x,三阶偏导数为,z=f,(,x,y,),关于,x,n,1,阶偏导数,再关于,y,一阶,偏导数为,第12页,例,8.,求函数,解,:,注意,:,此处,但这一结论并不,总,成立,.,二阶偏导数及,第
4、13页,例,9,二者不等,第14页,则,定理,.,比如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),说明,:,本定理对,n,元函数高阶混合导数也成立,.,函数在其定义区域内是连续,故求初等函数高阶导,数能够选择方便求导次序,.,因为初等函数偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点,(,x,y,z,),连续时,有,而初等,(,证实略,),第15页,证,:,令,则,则,定理,.,令,第16页,一样,在点,连续,得,第17页,例,10.,证实函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,第18页,内容小结,1.,偏导数概念及相关结论,定义,;,记号,;,几何意义,函数在一点,偏导数存在,函数在此点,连续,混合,偏导数连续,与求导次序无关,2.,偏导数计算方法,求一点处偏导数方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数方法,逐次求导法,(,与求导次序无关时,应选择方便求导次序,),第19页,谢 谢！,第20页,
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