导数系列一类以自然指数对数为背景导数压轴题解法教师版.doc

导数系列：一类以自然指数对数为背景导数压轴题解法教师版

一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法
注: 本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。
根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！
源于课本：1-1课本99页B组1题或课本2-2第32页B组1题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：；
【探究拓展】
探究1：证明不等式*
变式1：设，其中若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_________
变式2：设，其中，若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_________
变式3：设，其中，若对于任意，恒成立，则参数的取值范围是_________
点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦......
探究2：不等式*有哪些等价变形并在坐标系中画图？
变形1：
变形2：
变形3：
变形4：*
变形5：
变形6：
归一：我们只要通过画图并记住*,*即可，考试出现了其它变形换元转化为这2个不等式即可。

探究3：观察：“插中”不等式（当然是我编的名字）
变形4：*
变形6：*
两式相加除以2，

结论：“插中”不等式*:若，则 ；若则
请在坐标系中画出图像这个图像很漂亮，容易记住。

点评：数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看...
总结：*,‚*ƒ“插中”不等式*，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。

题型一：化归为指数型放缩
例1（2010年全国）设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若时，求的取值范围。（提示：）
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（2）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故
，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.

练习1：（2012年全国）已知函数，（1）求的解析式及单调区间；（2）若求的最大值。（很简单，省略）

练习2：（2013年全国）已知函数当时，证明（很简单，省略）

练习3：（2016年广一模）已知函数。1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数m的值。2）当时，证明：。（2016年广二模也有用到）

练习4：已知函数.
⑴求函数的最小值；
⑵若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；
⑶在⑵的条件下，证明：.
解：（1）由题意，由得.
当时, ；当时，.
∴在单调递减，在单调递增.
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以.
由得.
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴在处取得极大值.
因此的解为，∴.
（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.
令 ，则.∴.
∴.

练习5：已知函数=，其中a≠0.
（1）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）若，则对一切，，这及题设矛盾，又，
故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（2）由题意知，
令则

令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .
综上所述，存在使成立.且的取值范围为.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数及方程思想，转化及划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

练习4：（2012年山东）已知函数，曲线在点处的切线及x轴平行。1）求k的值；2）求的单调区间；3）设其中为的导函数，证明：对任意。（答案略）
例2、(2011年湖北）已知函数求函数的最大值；2）设均为正数，证明：若，则（提示：）
解：（1）的定义域为，令，
在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值
（2）由（Ⅰ知当时有即，
∵，∴
∵∴即
练习1:（2006年全国）函数，若对所有的都有成立，求实数的取值范围。（很简单，省略）

练习2：已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）证明： .
解：（Ⅰ），
,
题设等价于.
令，则
当，；当时，，是的最大值点，

综上，的取值范围是.
(Ⅱ)有（Ⅰ）知，即.
当时，；
当时，

练习3：（2014年陕西）设函数其中是的导函数。若恒成立，求实数的取值范围。（很简单，省略）

练习4：（2011浙江理22,替换构造）已知函数.
⑴求的单调区间和极值；
⑵求证：.
解：⑴定义域为,.
令，令
故的单调递增区间为，的单调递减区间为
的极大值为
⑵证明：要证
即证， 即证
即证
令，由⑴可知在上递减，故
即，令，故
累加得，

故，得证
法二：=
，其余相同证法
练习5：已知函数
（1）求函数的极值点。
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围。
（3）证明：.
解：(1)的定义域为（1∞），.
当时，，则在（1，+∞）上是增函数。
在（1，+∞）上无极值点.
当时，令，则.
所以当时，，
∴在上是增函数，
当时，，
∴在上是减函数。
∴时，取得极大值。
综上可知，当时，无极值点；
当时，有唯一极值点.
(2)由(1)可知，当时，，不成立.故只需考虑.
由(1)知，，
若恒成立，只需即可，
化简得：,所以的取值范围是[1，+∞）.
(3)由(2)知，
∴.
∴

练习6：已知函数
⑴求函数的单调区间；
⑵若≤0恒成立，试确定实数的取值范围；
⑶证明：①当时，；②.
解：⑴函数的定义域为中，.
　 当≤0时，则在上是增函数.
　 当时，在上是增函数，在上是减函数.
⑵由⑴知，当≤0时，在上是增函数.而，≤0不成立.
当时，由⑴知，要使≤0恒成立，则≤0，解得≥1.
⑶①由⑵知当时，有在上恒成立，且在是减函数.
　 又，∴当时，，即.
　 ②令则即，从而.
　 ∴成立.

例3、（2010湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为.

⑶.
解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。
⑴，则有，解得.
⑵由⑴知，，
令， 则 ，
①当 ，
若 ，则，是减函数，所以
，故在上恒不成立。
②时，
若，故当时，。
综上所述，所求的取值范围为
⑶由⑵知：当时，有.
令，有
当时，
令，有
即 ，
将上述个不等式依次相加得
,整理得.

练习1：已知的图像在点处的切线及直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （n∈N*）
解：（Ⅰ），根据题意，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则，=
①当时， ，
若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立．
②时，，当时，，在增函数，又，所以．
综上所述，所求的取值范围是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，在上恒成立．取得
令，得，
即,所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得

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