导数的概念及其几何意义(理-同步).doc

同步课程˙导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义

知识回顾

1． 函数的概念？
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合}叫做函数的值域．
2． 判断函数的单调性有哪几种方法？
定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.
知识讲解

一、导数的概念
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，
，
则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率．
注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．
如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数（也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数称为函数在点的瞬时变化率．
“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：
“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．
函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．
这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当时，”或“”．

3．可导与导函数：
如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数的导函数．记为或（或）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

二、导数的几何意义
1.导数的几何意义：
设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．
由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．
2.求曲线的切线方程
若曲线在点及其附近有意义，给横坐标一个增量，相应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则为曲线的割线.当时,如果割线 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率就趋近于切线的斜率.
切线的方程为.

题型一、导数的概念
【例1】 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 ．

【例2】 求函数在到之间的平均变化率．

【例3】 求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．

【例4】 求在处的导数．

题型二、导数的几何意义

【例5】 已知曲线上一点，用斜率定义求：
⑴ 过点A的切线的斜率；
⑵ 过点A的切线方程．

【例6】 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．

【例7】 求函数的图象上过点的切线方程．

题型三、综合问题
【例8】 已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．－3
C．5 D．－5

【例9】 曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

【例10】 设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1

【例11】 若函数f(x)＝－x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋5，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线l的方程为________．

【例12】 已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2 012()＝________.

【例13】 曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

【例14】 已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为________．

【例15】 设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．

【例16】 曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

【例17】 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．

【例18】 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或

【例19】 已知函数的图象在点处的切线方程为，又点的横坐标为，则________．

【例20】 ⑴曲线在点处的切线方程是____．
⑵曲线过点的切线方程是_________．

【例21】 已知曲线，则过点的切线方程是_______．

【例22】 已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为_____．

【例23】 曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______．

【例24】 偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．

【例25】 设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

【例26】 已知曲线在点处的切线平行直线，且点在第三象限，
⑴ 求的坐标；
⑵若直线，且也过切点，求直线的方程．

【例27】 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．

【例28】 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积．

随堂练习

【练1】 函数在闭区间内的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．

【练2】 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．

【练3】 过点作曲线的切线，则切线方程为________．

【练4】 已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．

【练5】 已知曲线：，求曲线上横坐标为的点的切线方程．

【练6】 已知曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．

课后作业

【题1】 若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ）
A．1 B． C．2 D．

【题2】 已知曲线上一点，用斜率定义求：
⑴ 过点的切线的斜率；
⑵ 过点的切线方程．

【题3】 设函数，曲线在点处的切线方程为．
⑴求的解析式；
⑵证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

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