知识点一导数与函数的单调性.doc

1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．
一般地，当函数 在点处连续时，判断 是极大（小）值的方法是：
（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值．
（2）如果在附近的左侧 ，右侧，那么 是极小值．
注：导数为0的点不一定是极值点

知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：
在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.
注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.

例1】（B类）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.
【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.

【例2】（A类）若在区间[－1,1]上单调递增，求的取值范围.
【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解
【例3】（B类）已知函数,,设．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值
【课堂练习】
1.（B） 已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

2．（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为
（1）若方程的表达式；
（2）若的最小值

3.（A类）已知函数 ，．当 时讨论函数 的单调性.

例一[解析】（Ⅰ）由的图象经过，知，
所以.
所以.
由在处的切线方程是，
知，即，.
所以 即 解得.
故所求的解析式是.
（Ⅱ）因为，
令，即，
解得 ，.
当或时，，
当时，，
故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.
例二【解析】又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即在 [－1,1]时恒成立.
故的取值范围为　
例三解析】（I），
∵，由，∴在上单调递增.
由，∴在上单调递减.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II），恒成立
当时，取得最大值.
∴，∴amin=
课堂练习；1，【解析】（Ⅰ）的图象经过点 ∴
∵，∴
由已知条件知 即
∴解得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令则或
∵函数在区间上单调递增 ∴
∴或 即或

2，解析】（1）根据导数的几何意义知
由已知-2、4是方程的两个实根
由韦达定理，
（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有

其中点（—2，3）距离原点最近，
所以当有最小值13
3，【解析】∵，
∴（1）当时，若为增函数；
为减函数；
为增函数．
（2）当时，为增函数；
为减函数；
为增函数

知识点二: 导数与函数的极值最值方法归纳：
1.求函数的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域，求导数 .
(2)求方程的根.
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.
2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值.
（2）求出端点函数值.
（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.
注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.
【例4】（A类）若函数在处取得极值,则 .
【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极小值.
【解析】因为可导,且,所以,解得.
验证当时, 函数在处取得极大值.
【注】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.
[例5】（B类）已知函数，
（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.
【解析】（I），令；所以在上递减，在上递增；
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以.
【例6】（B类）设是函数的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.
【解析】（1）
由已知得：
（2）变化时.的变化情况如表：

（0，1）
1
（1，2）
2

—
0
+
0
—

极小值

极大值

故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值
4.（A类）设.若在上存在单调递增区间，求的取值范围.

5.（B类）设，．
（1）求的单调区间和最小值； （2）讨论与的大小关系；

6.（C类）已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
.

课堂练习；4，【解析】在上存在单调递增区间，
即存在某个子区间 使得.
由，
在区间上单调递减，则只需即可.
由解得，
所以，当时，在上存在单调递增区间

5，解】（1）由题设知，∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.
当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为
(2)，设，则，
当时，，即，当时，，
因此，在内单调递减，当时，，即

6，【解析】(Ⅰ) ，，又
曲线的切线方程是：，在上式中令，得.
所以曲线